Бесконечное произведение

В математике для последовательности чисел $a_1,a_2,a_3,\dots$ бесконечное произведение

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1{a}_2{a}_3\dots$

определяется как предел частичных произведений $a_1{a}_2\dots a_n$ при $n\to \mathrm{\infty }$. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.

Если все числа $a_1,a_2,a_3,\dots$ положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.

Cходимость

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$. Следовательно, логарифм $\ln a_n$ определён для всех $n$, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности $\{a_n\}$ это конечное число членов, получим равенство:

$\ln \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln a_n,$

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого $n$ $a_n⩾1$, обозначим $p_n=a_n-1$, тогда $a_n=p_n+1$ и $p_n⩾0$, откуда следует неравенство:

$1+\sum _{n=1}^N{p}_n⩽\prod _{n=1}^N(1+p_n)⩽\exp \left(\sum _{n=1}^N{p}_n\right)$

которое показывает, что бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$.

Примеры

Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа $\pi$, открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$;

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)$.

Тождество Эйлера для дзета-функции

$\zeta (x)=\frac{1}{1-2^{-x}}\cdot \frac{1}{1-3^{-x}}\cdot \frac{1}{1-5^{-x}}\cdot \frac{1}{1-7^{-x}}\cdots =\prod _p\frac{1}{1-p^{-x}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $p$. Это произведение сходится при $x>1$.

Представление функции в виде бесконечного произведения

В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$

$\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{4z^2}{(2n+1{)}^2})$

Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция $f$, имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup \{a_n\}\to \mathrm{\infty }$, где точка 0 — нуль порядка $\lambda$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^{\lambda }{e}^{h(z)}\prod _1^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{a_n})\exp (\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^2+\dots +\frac{1}{p_n}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n})$,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p_n$ подобраны таким образом, чтобы ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n+1}$ сходился. При $p_n=0$ соответственная множителю номер $n$ экспонента опускается (считается равной $\exp (0)=1$).

Ссылки

• Infinite products from Wolfram Math World.