Гауссова функция

Шаблон:О Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

$g\left(x\right)=a{e}^{-\frac{(x-b{)}^2}{2c^2}}$,

где параметры $a,b,c$ — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратическое отклонение $\sigma$ и математическое ожидание $\mu$:

$a=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$, $b=\mu$, $c=\sigma$,

Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания $\mu$ и среднеквадратичного отклонения $\sigma$

График гауссовой функции при $a>0$ и $c\ne 0$ — колоколообразная кривая, параметр $a$ определяет максимальную высоту графика — пик колокола, $b$ отвечает за сдвиг пика от нуля (при $b=0$ — пик в нуле), а $c$ влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функцииШаблон:Переход. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значениеШаблон:Переход в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

Свойства

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр $c$ связан с полушириной колокола графика следующим образом:

$w=2\sqrt{2\ln 2}c\approx 2,35482\cdot c$.

Гауссова функция может быть выражена через полуширину $w$ колокола графика следующим образом:

$g(x)=a{e}^{-\frac{4\ln (2)(x-b{)}^2}{w^2}}$.

Перегибы $g(x)$ — две точки, в которых $x=b\pm c$.

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0$.

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константаШаблон:Sfn:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-\frac{(x-b{)}^2}{2c^2}}dx=ac\cdot \sqrt{2\pi }$.

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

$a=\frac{1}{c\sqrt{2\pi }}$,

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием $\mu =b$ и дисперсией ${\sigma }^2=c^2$.

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр $c$ свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: $c^2=c_1^2+c_2^2$. Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщения

Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
$A=1$,
$(x_0,y_0)=(0,0)$,
$a=c=1/2$,
$b=0$

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

$g(x,y)=A\cdot e^{(-(\frac{(x-x_0{)}^2}{2{\sigma }_x^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{2{\sigma }_y^2}))}$,

здесь $A$ задаёт высоту колокола, $(x_0,y_0)$ определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а $({\sigma }_x,{\sigma }_y)$ отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

$V=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x,y)dxdy=2\pi A{\sigma }_x{\sigma }_y$

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

$g(x,y)=A\exp (-(a(x-x_0{)}^2+2b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0{)}^2))$,

где матрица:

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в $n$-мерном евклидовом пространстве:

$g(x)=\exp (-x^{T}Ax)$,

где $x=(x_1,\dots ,x_n)$ — вектор-столбец из $n$ компонентов, $A$ — положительно определённая матрица размера $n\times n$, и $x^T$ — операция транспонирования над $x$.

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством ${ℝ}^n$:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }\exp (-x^{T}Ax)dx=\sqrt{\frac{{\pi }^n}{\det A}}$.

Возможно определить $n$-мерный вариант и со сдвигом:

$g(x)=\exp (-x^{T}Ax+s^{T}x)$,

где $s=(s_1,\dots ,s_n)$ — вектор сдвига, а матрица $A$ — симметричная ($A^T=A$) и положительно определённая.

Супергауссова функция

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень $P$:

$sg(x)=A\exp (-{\left(\frac{(x-x_o{)}^2}{2{\sigma }_x^2}\right)}^P)$,

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам $P_x$ и $P_y$:

$sg(x,y)=A\exp (-{\left(\frac{(x-x_o{)}^2}{2{\sigma }_x^2}\right)}^{P_x}-{\left(\frac{(y-y_o{)}^2}{2{\sigma }_y^2}\right)}^{P_y})$.

Применения

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые Шаблон:Iw — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как Шаблон:Iw) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и Шаблон:Iw. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Integrating The Bell Curve / MathPagesШаблон:Ref-en