Уравнение диффузии

Шаблон:Механика сплошных сред Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса, расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

$\frac{\partial \phi (𝐫,t)}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot [D(\phi ,𝐫)\mathrm{\nabla }\phi (𝐫,t)],$

где Шаблон:Math — плотность диффундирующего вещества в точке Шаблон:Math и во время Шаблон:Math и Шаблон:Math — обобщённый коэффициент диффузии для плотности Шаблон:Math в точке Шаблон:Math; Шаблон:Math — оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Если Шаблон:Math — симметричный положительно определённый оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию:

$\frac{\partial \phi (𝐫,t)}{\partial t}=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\frac{\partial }{\partial x_i}[D_{ij}(\phi ,𝐫)\frac{\partial \phi (𝐫,t)}{\partial x_j}].$

Если Шаблон:Math постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

$\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\varphi (𝐫,t),$

также называемому уравнением теплопроводности.

История происхождения

Дифференциальное уравнение в частных производных было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$ уравнение имеет вид:

$\frac{\partial }{\partial t}c(x,t)=\frac{\partial }{\partial x}D\frac{\partial }{\partial x}c(x,t)+f(x,t).$

При постоянном $D$ приобретает вид:

$\frac{\partial }{\partial t}c(x,t)=D\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}c(x,t)+f(x,t),$

где $c(x,t)$ — концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,t)$ — функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\frac{\partial }{\partial t}c(\overrightarrow{r},t)=(\mathrm{\nabla },D\mathrm{\nabla }c(\overrightarrow{r},t))+f(\overrightarrow{r},t),$

где $\mathrm{\nabla }=({\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z)$ — оператор набла, а $(,)$ — скалярное произведение. Оно также может быть записано как

${\partial }_{t}c=𝐝𝐢𝐯(D𝐠𝐫𝐚𝐝c)+f,$

а при постоянном $D$ приобретает вид:

$\frac{\partial }{\partial t}c(\overrightarrow{r},t)=D\mathrm{\Delta }c(\overrightarrow{r},t)+f(\overrightarrow{r},t),$

где $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ — оператор Лапласа.

n-мерный случай

$n$-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$-мерные версии соответствующих операторов:

$\mathrm{\nabla }=({\partial }_1,{\partial }_2,\dots ,{\partial }_n),$

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\underset{1}{\overset{2}{\partial }}+\underset{2}{\overset{2}{\partial }}+\dots +\underset{n}{\overset{2}{\partial }}.$

Это касается и двумерного случая $n=2$.

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\mathrm{\Phi }=-\varkappa \frac{\partial c}{\partial x}$ (одномерный случай),

$𝐣=-\varkappa \mathrm{\nabla }c$ (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}=0$ (одномерный случай),

$\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐣=0$ (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
• Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$ в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

Решение

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения с постоянным — не зависящим от $x$ и $t$ — $D$ (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией $c_f(x,0)=\delta (x)$ и граничном условии $c_f(\mathrm{\infty },t)=0$) есть

$c_f(x,t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}}\exp (-\frac{x^2}{4Dt}).$

В этом случае $c_f(x,t)$ можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время $t$ перейдёт в пункт с координатой $x$. То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки

$⟨x^2⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{c}_f(x,t)dx=2Dt.$

В случае произвольного начального распределения $c(x,0)$ общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

$c(x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}c(x^{\prime },0)c_f(x-x^{\prime },t)d{x}^{\prime }=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}c(x^{\prime },0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp (-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4Dt})d{x}^{\prime }.$

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:

$-(\mathrm{\nabla },D\mathrm{\nabla }c(\overrightarrow{r}))=f(\overrightarrow{r}).$

• При $D$, не зависящем от $\overrightarrow{r}$, стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$):

$\mathrm{\Delta }c(\overrightarrow{r})=-\frac{f(\overrightarrow{r})}{D},$

$\mathrm{\Delta }c(\overrightarrow{r})=0.$

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\mathrm{\infty }⩽x⩽+\mathrm{\infty }$ и $t⩾t_0$, удовлетворяющее условию $u(x,t_0)=\phi (x)(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$, где $\phi (x)$ — заданная функция.

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\mathrm{\infty }⩽x⩽+\mathrm{\infty }$ и $t⩾t_0$, удовлетворяющее условиям

$\{\begin{array}{c}u(x,t_0)=\phi (x),(0<x<\mathrm{\infty })\\ u(0,t)=\mu (t),(t⩾t_0)\end{array}$

где $\phi (x)$ и $\mu (t)$ — заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0⩽x⩽l$ и $-\mathrm{\infty }<t$, удовлетворяющее условиям

$\{\begin{array}{c}u(0,t)={\mu }_1(t),\\ u(l,t)={\mu }_2(t),\end{array}$

где ${\mu }_1(t)$ и ${\mu }_2(t)$ — заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

$u_t=a^2{u}_{xx}+f(x,t),0<x<l,0<t⩽T$ — уравнение теплопроводности.

Если $f(x,t)=0$, то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.

$u(x,0)=\phi (x),0⩽x⩽l$ — начальное условие в момент времени $t=0$, температура в точке $x$ задается функцией $\phi (x)$.

$\begin{array}{c}u(0,t)={\mu }_1(t),\\ u(l,t)={\mu }_2(t),\end{array}\}0⩽t⩽T$ — краевые условия. Функции ${\mu }_1(t)$ и ${\mu }_2(t)$ задают значение температуры в граничных точках 0 и $l$ в любой момент времени $t$.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай (${\alpha }_i^2+{\beta }_i^2\ne 0,(i=1,2)$).

$\begin{array}{c}{\alpha }_1{u}_x(0,t)+{\beta }_{1}u(0,t)={\mu }_1(t),\\ {\alpha }_2{u}_x(l,t)+{\beta }_{2}u(l,t)={\mu }_2(t).\end{array}$

Если ${\alpha }_i=0,(i=1,2)$, то такое условие называют условием первого рода, если ${\beta }_i=0,(i=1,2)$ — второго рода, а если ${\alpha }_i$ и ${\beta }_i$ отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция $u(x,t)$ в пространстве $D\times [0,T],D\in {ℝ}^n$, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\mathrm{\Delta }u=0$, причем $D$ — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,t)$ может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$.