Функция Грина

Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Определение и использование

Функция Грина $G(x,s)$ линейного дифференциального оператора $L=L(x)$, действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства ${ℝ}^n$ в точке $s$, — это любое решение уравнения

$LG(x,s)=\delta (x-s)$,

где $\delta$ — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

$Lu(x)=f(x)$,

Функция Грина — это обратный оператор к $L$, поэтому её нередко символически обозначают как $L^{-1}$.

Если ядро оператора $L$ нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

$LG(x,s)=-\delta (x-s)$,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если $L$ имеет постоянные коэффициенты по отношению к $x$, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

$G(x,s)=G(x-s)$.

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Замечание

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид $Lf=\kappa h$, функция Грина $g(x,s)$ также определяется с учётом этого коэффициента, то есть в этом случае она по определению является решением уравнения

$L{f}_1(x)=\kappa \delta (x-s)$.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения $Lf=\kappa h$ с произвольной функцией $h$ в правой части записывается как

$f(x)=\int \kappa h(s)g(x,s)ds$.

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)

Постановка задачи

Пусть $L$ — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида:

$L=\frac{d}{dx}[p(x)\frac{d}{dx}]-q(x)$,

и пусть $D$ — оператор краевых условий:

$Du=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{u}^{\prime }(0)+{\beta }_{1}u(0)\\ {\alpha }_2{u}^{\prime }(l)+{\beta }_{2}u(l).\end{array}\right)$

Теорема Грина

Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на промежутке $[0,l]$. Предположим также, что задача

$\begin{array}{c}Lu=f,\\ Du=0\end{array}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Тогда существует единственное решение $u(x)$, удовлетворяющее системе

$\begin{array}{c}Lu=f,\\ Du=0,\end{array}$,

которое задаётся выражением

$u(x)=\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(s)g(x,s)ds$,

где $g(x,s)$ — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

1. $g(x,s)$ непрерывна по $x$ и $s$.
2. Для $x\ne s$, $Lg(x,s)=0$.
3. Для $s\ne 0,l$, $Dg(x,s)=0$.
4. Скачок производной: $g^{\prime }(s_{+0},s)-g^{\prime }(s_{-0},s)=1/p(s)$.
5. Симметрична: $g(x,s)=g(s,x)$.

Нахождение функции Грина

В виде ряда через собственные функции оператора

Если множество собственных векторов (собственных функций) ${\mathrm{\Psi }}_n$ дифференциального оператора $L$

(то есть набор таких функций ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$, что для каждой найдётся число ${\lambda }_n\ne 0$, что $L{\mathrm{\Psi }}_n={\lambda }_n{\mathrm{\Psi }}_n$)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов ${\mathrm{\Psi }}_n$ и собственных значений ${\lambda }_n$.

Под полнотой системы функций ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$ подразумевается выполнение соотношения

$\delta (x-x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n(x){\bar{\mathrm{\Psi }}}_n(x^{\prime })$.

Можно показать, что

$G(x,x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Psi }}_n(x){\bar{\mathrm{\Psi }}}_n(x^{\prime })}{{\lambda }_n}$.

Действительно, подействовав оператором $L$ на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху, $\bar{\mathrm{\Psi }}$, обозначено комплексное сопряжение; если ${\mathrm{\Psi }}_n$ — вещественные функции, его можно не делать).

Для параболических уравнений

Уравнение теплопроводности, уравнение Шрёдингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

где $H$ — эрмитов оператор, $x=𝒻x_1,x_2,...,x_nℊ$ - пространственные координаты

• для уравнения теплопроводности $\mathrm{\Delta }T=\frac{c}{k}\frac{\partial T}{\partial t}$

$T$ — температура, $\beta =\frac{k}{c}t$.

• для уравнения Шрёдингера $H\psi =-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \psi }{\partial t}$

$\psi$ — волновая функция, $\beta =\frac{\hslash i}{2m}t$.

• для уравнения диффузии ${\mathrm{\nabla }}^2\psi =\frac{1}{\lambda }\frac{\partial \psi }{\partial t}$

$\psi$ — концентрация вещества, $\beta =\lambda t$.

Собственные функции ${\phi }_m$ оператора $H$ образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

$H{\phi }_m={\lambda }_m{\phi }_m$.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:

$H\psi =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_m(\beta )H{\phi }_m(x)=-\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_m(x)\frac{\partial }{\partial \beta }{A}_m(\beta )$.

Таким образом:

$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}[{\lambda }_m{A}_m(\beta )+\frac{\partial }{\partial \beta }{A}_m(\beta )]{\phi }_m(x)=0$.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

$-{\lambda }_m{A}_m(\beta )=\frac{\partial A_m(\beta )}{\partial \beta }$,

откуда

$A_m(\beta )=A_m(0)e^{-{\lambda }_m\beta }$.

Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:

$\psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_m(0)e^{-{\lambda }_m\beta }{\phi }_m(x)$.

Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:

$A_m(\beta )=\int {\phi }_m^{*}(x)\psi (x,\beta )d\tau$,

где $d\tau =d{x}_{1}d{x}_2...d{x}_n$ — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

$A_m(0)=\int {\phi }_m^{*}(x)\psi (x,0)d\tau$

Итак, если задано начальное состояние, то

$\psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\int \psi (x^{\prime },0){\phi }_m^{*}(x^{\prime }){\phi }_m(x)e^{-{\lambda }_m\beta }d{\tau }^{\prime }$

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

$\psi (x,\beta )=\int ⟨x|G(\beta )|x^{\prime }⟩\psi (x^{\prime },0)d{\tau }^{\prime }$,

где:

$⟨x|G(\beta )|x^{\prime }⟩=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_m^{*}(x^{\prime }){\phi }_m(x)e^{-{\lambda }_m\beta }$.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана

Функция Грина для лапласиана может быть получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина начнём с закона Гаусса:

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \hat{A}dV=\underset{S}{\int }\hat{A}\cdot d\hat{\sigma }$.

Примем $A=\phi \mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }\phi$ и подставим в закон Гаусса. Вычислим $\mathrm{\nabla }\cdot \hat{A}$ и применим цепное правило для оператора $\mathrm{\nabla }$:

$\mathrm{\nabla }\cdot \hat{A}=\mathrm{\nabla }\cdot (\phi \mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }\phi )=$

$=(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )+\phi {\mathrm{\nabla }}^2\psi -(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )-\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi =\phi {\mathrm{\nabla }}^2\psi -\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi$.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

$\underset{V}{\int }(\phi {\mathrm{\nabla }}^2\psi -\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi )dV=\underset{S}{\int }(\phi \mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }\phi )\cdot d\hat{\sigma }$.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор $L$ Лапласиан, ${\mathrm{\nabla }}^2$, и то, что у нас имеется для него функция Грина $G$. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

$LG(x,x^{\prime })={\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$.

Положим $\psi =G$ в теореме Грина. Тогда получим:

$\underset{V}{\int }(\phi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^2\phi (x^{\prime }))d^3{x}^{\prime }=$

$=\underset{S}{\int }(\phi (x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }G(x,x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\phi (x^{\prime }))\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }$.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа (${\mathrm{\nabla }}^2\phi (x)=0$) и уравнение Пуассона (${\mathrm{\nabla }}^2\phi (x)=-4\pi \rho (x)$) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение $\phi (x)$ всюду внутри заданной области, если (1) значение $\phi (x)$ задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная $\phi (x)$ задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение $\phi (x)$ внутри области. В этом случае интеграл $\underset{V}{\int }\phi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })d^3{x}^{\prime }$ упрощается до $\phi (x)$ в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

$\phi (x)=\underset{V}{\int }G(x,x^{\prime })\rho (x^{\prime })d^3{x}^{\prime }+\underset{S}{\int }(\phi (x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }G(x,x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\phi (x^{\prime }))\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }$.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике $\phi (x)$ понимается как электростатический потенциал, $\rho (x)$ как плотность электрического заряда, а нормальная производная $\mathrm{\nabla }\phi (x^{\prime })\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }$ как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде $G(x,x^{\prime })$. Эта функция обращается в нуль, когда $x$ или $x^{\prime }$ находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

$G(\hat{x},{\hat{x}}^{\prime })=\frac{1}{|\hat{x}-{\hat{x}}^{\prime }|}$.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

$\phi (x)=\underset{V}{\int }\frac{\rho (x^{\prime })}{|\hat{x}-{\hat{x}}^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime }$.

Пример

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

$\begin{array}{c}Lu\end{array}=u^{\prime \prime }+u=f(x)$;

$u(0)=0,u\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина $g(x,s)$ в данном случае по определению должна быть решением уравнения Шаблон:Нумерованная формула

где двумя штрихами обозначена вторая производная по $x$.

Для $x\ne s$, где $\delta$-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

$g^{\prime \prime }+g=0$,

то есть для всех точек, кроме $s$, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

$g=A\cos x+B\sin x$,

где $A$ и $B$ — константы (не зависят от $x$).

Таким образом, $g(x,s)$ должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки $s$, причём слева и справа от неё коэффициенты $A$ и $B$ могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: $u(0)=0$ — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для $x<s$ коэффициент $A$ общего решения должен быть нулём, то есть для $x<s$

$g(x,s)=B\cdot \sin x$.

Точно так же из правого граничного условия: $u\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ — получаем равенство нулю коэффициента $B$, то есть для $x>s$

$g(x,s)=A\cdot \cos x$.

В итоге, учитывая, что коэффициенты $A$ и $B$ вообще говоря могут зависеть от $s$, можем записать:

$g(x,s)=\{\begin{array}{c}B(s)\sin x,x<s\\ A(s)\cos x,s<x\end{array}$

Второй шаг:

Нужно определить $A(s)$ и $B(s)$.

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения $x<s$ и $x>s$:

$B(s)\sin s=A(s)\cos s$.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от $x=s-\epsilon$ до $x=s+\epsilon$ получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

$g^{\prime }(s_{+0},s)-g^{\prime }(s_{-0},s)=-A(s)\cdot \sin s-B(s)\cdot \cos s=1$.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

$A(s)=-\sin s;B(s)=-\cos s$.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

$g(x,s)=\{\begin{array}{c}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,x<s\\ -1\cdot \sin s\cdot \cos x,s<x\end{array}$,

что можно записать как

$g(x,s)=\frac{1}{2}(\sin |x-s|-\sin (x+s)).$

Таблица с функциями Грина

В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$, $\mathrm{\Theta }(t)$ — функция Хевисайда, $J_{\nu }(z)$ — функция Бесселя, $I_{\nu }(z)$ — модифицированная функция Бесселя первого рода и $K_{\nu }(z)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода. Где время (Шаблон:Math) появляется в первой колонке и показаны причинные функции Грина $G^A$.

Дифференциальный оператор Шаблон:Mvar	Функция Грина Шаблон:Mvar	Пример применения
$\underset{t}{\overset{n+1}{\partial }}$	$\frac{t^n}{n!}\mathrm{\Theta }(t)$
${\partial }_t+\gamma$	$\mathrm{\Theta }(t){\mathrm{e}}^{-\gamma t}$
${({\partial }_t+\gamma )}^2$	$\mathrm{\Theta }(t)t{\mathrm{e}}^{-\gamma t}$
$\underset{t}{\overset{2}{\partial }}+2\gamma {\partial }_t+{\omega }_0^2$	$\mathrm{\Theta }(t){\mathrm{e}}^{-\gamma t}\frac{\sin (\omega t)}{\omega }$, $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$	Гармонический осциллятор
${\mathrm{\Delta }}_{\text{2D}}=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+\underset{y}{\overset{2}{\partial }}$	$\frac{1}{2\pi }\ln \rho$, $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$	Уравнение Пуассона
${\mathrm{\Delta }}_{\text{3D}}=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+\underset{y}{\overset{2}{\partial }}+\underset{z}{\overset{2}{\partial }}$	$\frac{-1}{4\pi r}$, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$	Уравнение Пуассона
${\mathrm{\Delta }}_{\text{3D}}+k^2$	$\frac{-{\mathrm{e}}^{-ikr}}{4\pi r}=i\sqrt{\frac{k}{32\pi r}}$$H_{1/2}^{(2)}(kr)$$=i\frac{k}{4\pi }$$h_0^{(2)}(kr)$	стационарное 3D уравнение Шрёдингера для свободной частицы
$\mathrm{\Delta }-k^2$ в пространстве с $n$ измерениями	$-(2\pi {)}^{-n/2}{\left(\frac{k}{r}\right)}^{n/2-1}{K}_{n/2-1}(kr)$	Потенциал Юкавы, Пропагатор
$\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-c^2\underset{x}{\overset{2}{\partial }}$	$\frac{1}{2c}\mathrm{\Theta }(t-|x/c|)$	1D волновое уравнение
$\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-c^2{\mathrm{\Delta }}_{\text{2D}}$	$\frac{1}{2\pi c\sqrt{c^2{t}^2-{\rho }^2}}\mathrm{\Theta }(t-\rho /c)$	2D волновое уравнение
$◻=\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\mathrm{\Delta }}_{\text{3D}}$	$\frac{\delta (t-\frac{r}{c})}{4\pi r}$	3D волновое уравнение
${\partial }_t-k\underset{x}{\overset{2}{\partial }}$	$\mathrm{\Theta }(t){\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)}^{1/2}{\mathrm{e}}^{-x^2/4kt}$	1D уравнение диффузии
${\partial }_t-k{\mathrm{\Delta }}_{\text{2D}}$	$\mathrm{\Theta }(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right){\mathrm{e}}^{-{\rho }^2/4kt}$	2D уравнение диффузии
${\partial }_t-k{\mathrm{\Delta }}_{\text{3D}}$	$\mathrm{\Theta }(t){\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)}^{3/2}{\mathrm{e}}^{-r^2/4kt}$	3D уравнение диффузии
$\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+{\mu }^2$	$\frac{1}{2}[(1-\sin \mu ct)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \mathrm{\Theta }(ct-|x|)J_0\left(\mu u\right)],u=\sqrt{c^2{t}^2-x^2}$	1D уравнение Клейна — Гордона
$\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\mathrm{\Delta }}_{\text{2D}}+{\mu }^2$	$\frac{1}{4\pi }[(1+\cos (\mu ct))\frac{\delta (ct-\rho )}{\rho }+{\mu }^2\mathrm{\Theta }(ct-\rho )\mathrm{sinc}(\mu u)],u=\sqrt{c^2{t}^2-{\rho }^2}$	2D уравнение Клейна — Гордона
$◻+{\mu }^2$	$\frac{1}{4\pi }[\frac{\delta (t-\frac{r}{c})}{r}+\mu c\mathrm{\Theta }(ct-r)\frac{J_1\left(\mu u\right)}{u}],u=\sqrt{c^2{t}^2-r^2}$	3D уравнение Клейна — Гордона
$\underset{t}{\overset{2}{\partial }}+2\gamma {\partial }_t-c^2\underset{x}{\overset{2}{\partial }}$	$\frac{1}{2}{e}^{-\gamma t}[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\mathrm{\Theta }(ct-|x|)(\frac{\gamma }{c}{I}_0\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{\gamma t}{u}{I}_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right))],u=\sqrt{c^2{t}^2-x^2}$	телеграфное уравнение
$\underset{t}{\overset{2}{\partial }}+2\gamma {\partial }_t-c^2{\mathrm{\Delta }}_{\text{2D}}$	$\frac{e^{-\gamma t}}{4\pi }[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t)\frac{\delta (ct-\rho )}{\rho }+\mathrm{\Theta }(ct-\rho )(\frac{\gamma \sinh \left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{cu}+\frac{3\gamma t\cosh \left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^2}-\frac{3ct\sinh \left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^3})],u=\sqrt{c^2{t}^2-{\rho }^2}$	2D релятивистское уравнение теплопроводности
$\underset{t}{\overset{2}{\partial }}+2\gamma {\partial }_t-c^2{\mathrm{\Delta }}_{\text{3D}}$	$\frac{e^{-\gamma t}}{20\pi }[(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4{\gamma }^2{t}^2)\frac{\delta (ct-r)}{r^2}+\frac{{\gamma }^2}{c}\mathrm{\Theta }(ct-r)(\frac{1}{cu}{I}_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{4t}{u^2}{I}_2\left(\frac{\gamma u}{c}\right))],u=\sqrt{c^2{t}^2-r^2}$	3D релятивистское уравнение теплопроводности

Другие примеры

• Пусть дано множество $ℝ$ и оператор $L$ равен $d/dx$. Тогда функция Хевисайда $H(x-x_0)$ является функцией Грина для $L$ при $x_0$.
• Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости $(x,y):x,y⩾0$ и $L$ — оператор Лапласа. Также предположим, что при $x=0$ наложены краевые условия Дирихле, при $y=0$ — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

$G(x,y,x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi }[\ln \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}-\ln \sqrt{(x+x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}]+$

$+\frac{1}{2\pi }[\ln \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y+y_0{)}^2}-\ln \sqrt{(x+x_0{)}^2+(y+y_0{)}^2}].$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Функция Грина для случайно-неоднородной среды
• Метод функции Грина

Литература

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9