Теория линейных стационарных систем

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.

Обзор

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.

Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:

если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) —

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий —

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

для любых постоянных A и B.

• Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал $A\exp (st)$ с некоторой комплексной амплитудой $A$ и частотой $s$, то выход будет равен некоторому сигналу $B\exp (st)$ с комплексной амплитудой $B$. Отношение $B/A$ будет являться передаточной функцией системы на частоте $s$.

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразования

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — $x(t)$, где аргумент — числа действительной оси, то есть $t\in ℝ$. Линейный оператор $\mathscr{H}$ показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

$h(t_1,t_2)\text{, }{t}_1,t_2\in ℝ.$

Для дискретной системы:

$h[n_1,n_2]\text{, }{n}_1,n_2\in \mathbb{Z}.$

Так как $\mathscr{H}$ — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал $x(t)$ представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

$y(t_1)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t_1,t_2)x(t_2)d{t}_2.$

Если линейный оператор $\mathscr{H}$ ко всему прочему является и стационарным, тогда

$h(t_1,t_2)=h(t_1+\tau ,t_2+\tau )\mathrm{\forall }\tau \in ℝ.$

Положив

$\tau =-t_2,$

получим:

$h(t_1,t_2)=h(t_1-t_2,0).$

Для краткости записи второй аргумент в $h(t_1,t_2)$ обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

$y(t_1)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t_1-t_2)x(t_2)d{t}_2=(h*x)(t_1).$

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

$y[n_1]=\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n_1-n_2]x[n_2]=(h*x)[n_1].$

Импульсная переходная функция

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

$(h*\delta )(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-\tau )\delta (\tau )d\tau =h(t),$

Для дискретной системы:

$x[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]\delta [n-m].$

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

$h(t)=h(t,0)(\text{with }t=t_1-t_2)$

то есть $h(t)$ — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

$x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$

Приложив ко входу системы, получим:

$\mathscr{H}x(t)=\mathscr{H}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathscr{H}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$ (так как $\mathscr{H}$ линейна)

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )\mathscr{H}\delta (t-\tau )d\tau$ (так как $x(\tau )$ постоянна по t и $\mathscr{H}$ линейна)

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$ (by definition of $h(t)$)

В импульсной переходной функции $h(t)$ содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

$\mathscr{H}f=\lambda f$,

где f — собственная функция, и $\lambda$ — собственное число, константа.

Экспоненты $e^{st}$, где $s\in ℂ$ являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы $x(t)=e^{st}$. Тогда выходной сигнал системы $h(t)$ равен:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-\tau )e^{s\tau }d\tau$

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau$

$=e^{st}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )e^{-s\tau }d\tau$

$=e^{st}H(s)$,

где

$H(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t)e^{-st}dt$

зависит только от s.

Таким образом, $e^{st}$ — собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье

Шаблон:Main Преобразование Лапласа

$H(s)=ℒ\{h(t)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t)e^{-st}dt$

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида $\exp (j\omega t)$ где $\omega \in ℝ$ и $j$ — мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье $H(j\omega )=ℱ\{h(t)\}$ даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. $H(s)$ называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к $H(j\omega )$.

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

$y(t)=(h*x)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-\tau )x(\tau )d\tau$

$={ℒ}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Для дискретных систем:

$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n-m]x[m]$

$={𝒵}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Некоторые свойства

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность

Шаблон:Main Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

$h(t)=0\mathrm{\forall }t<0,$

Для дискретных систем:

$h[n]=0\mathrm{\forall }n<0,$

где $h(t)$ — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (Шаблон:Lang-en) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

$||x(t)|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x(t){|}^{p}dt)}^{1/p}<\mathrm{\infty }$

и

$||y(t)|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|y(t){|}^{p}dt)}^{1/p}<\mathrm{\infty }$

(то есть, максимумы абсолютных значений $x(t)$ и $y(t)$ конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, $h(t)$, должна удовлетворять выражению

$||h(t)|{|}_1=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)|dt<\mathrm{\infty }.$

Для дискретных систем:

$||h[n]|{|}_1=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]|<\mathrm{\infty }.$

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось $s=j\omega$.

См. также

• АФЧХ
• ЛАФЧХ
• Системный анализ
• Передаточная функция
• Функция Грина
• Нелинейное управление

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга