Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина, а также с обычным и односторонним преобразованием Лапласа.

Определение

Если $f(t)$ является вещественной или комплексной функцией действительной переменной $t\in ℝ$, то двустороннее преобразование Лапласа $ℬ\{f(t)\}$ задаётся формулой

$ℬ\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Интеграл в этом определении подразумевается несобственным и сходящимся тогда, когда существуют $\{\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt\\ \\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt\end{array}$

Иногда двусторонние преобразования записывают в виде

$𝒯\{f(t)\}=sℬ\left\{f\right\}=sF(s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Вообще, переменная $t$ может быть как вещественной, так и комплексной величиной.

Связь с другими интегральными преобразованиями

• Если $u(t)$ — функция Хевисайда, то обычное преобразование Лапласа $ℒ$ может быть выражено через двустороннее формулой

$ℒ\{f(t)\}=ℬ\{f(t)u(t)\}.$

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить обычное по формуле

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℒf(t)\}(s)+\{ℒf(-t)\}(-s).$

• Преобразование Меллина может быть выражено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)$

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить преобразование Меллина по формуле

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s).$

• Преобразование Фурье может быть определено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

$\left\{ℬf\right\}(s)=\left\{ℱf\right\}(-is).$

Свойства

Свойства преобразований Лапласа

	Временная область	Односторонняя область	Двусторонняя область
Первая производная	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$	$sF(s)$
Вторая производная	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$	$s^{2}F(s)$

Литература

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987