Интегральные преобразования

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

$Tf(u)=\underset{S}{\int }K(t,u)f(t)dt$,

где функции $f,Tf$ называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства $L$, при этом функция $K$ называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

$f(t)=\underset{S^{\prime }}{\int }{K}^{-1}(u,t)(Tf(u))du.$

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

$Tf(u)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}K(t,u)f(t)dt$,

$f(t)=\underset{u_1}{\overset{u_2}{\int }}{K}^{-1}(u,t)(Tf(u))du$,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)

Преобразование	Обозначение	$K$	t1	t2	$K^{-1}$	u1	u2
Преобразование Фурье	$ℱ$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Синус-преобразование Фурье	${ℱ}_s$	$\frac{\sqrt{2}\sin (ut)}{\sqrt{\pi }}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{\sqrt{2}\sin (ut)}{\sqrt{\pi }}$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Косинус-преобразование Фурье	${ℱ}_c$	$\frac{\sqrt{2}\cos (ut)}{\sqrt{\pi }}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{\sqrt{2}\cos (ut)}{\sqrt{\pi }}$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Преобразование Хартли	$\mathscr{H}$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Преобразование Меллина	$ℳ$	$t^{u-1}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Двустороннее преобразование Лапласа	$ℬ$	$e^{-ut}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Преобразование Лапласа	$ℒ$	$e^{-ut}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Преобразование Вейерштрасса	$𝒲$	$\frac{e^{-(u-t{)}^2/4}}{\sqrt{4\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+(u-t{)}^2/4}}{i\sqrt{4\pi }}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Преобразование Ханкеля		$t{J}_{\nu }(ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$u{J}_{\nu }(ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Интегральное преобразование Абеля		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{-1}{\pi \sqrt{u^2-t^2}}\frac{d}{du}$	$t$	$\mathrm{\infty }$
Преобразование Гильберта	$\mathscr{H}il$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$-\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Ядро Пуассона		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}$	$0$	$2\pi$
Идентичное преобразование		$\delta (u-t)$	$t_1<u$	$t_2>u$	$\delta (t-u)$	$u_1<t$	$u_2>t$

Список интегральных преобразований

• Интегральное преобразование Абеля
• Преобразования Бесселя
• Преобразование Бушмана
• Преобразование Бэйтмена
• Преобразование Вейерштрасса
• Преобразование Ханкеля
• Преобразование Гегенбауэра
• Преобразование Гильберта
• Преобразование Конторовича — Лебедева
• Одностороннее преобразование Лапласа
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Мейера
• Преобразование Мелера — Фока
• Преобразование Меллина
• Преобразование Нерейна
• Преобразование Радона
• Преобразование Стилтьеса
• Преобразование Фурье
• Преобразование Хартли
• Преобразование Лагерра
• S-преобразование

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Дискретные преобразования

Ссылки

• Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.