Тригонометрические преобразования Фурье

Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.

Определение

Синус-преобразование Фурье

Синус-преобразование Фурье ${\hat{f}}^s$ или ${ℱ}_s(f)$ функции $f(t)$ равно

$2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin 2\pi \nu tdt.$,

где

$t$ — время, $\nu$ — частота колебаний.

Функция ${\hat{f}}^s(\nu )$ нечётна по $\nu$, то есть

${\hat{f}}^s(\nu )=-{\hat{f}}^s(-\nu )$ для любого $\nu$.

Косинус-преобразование Фурье

Косинус-преобразование Фурье ${\hat{f}}^c$ или ${ℱ}_c(f)$ функции $f(t)$ равно

$2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos 2\pi \nu tdt.$

где

$t$ — время, $\nu$ — частота колебаний.

Функция ${\hat{f}}^c(\nu )$ чётна по $\nu$, то есть ${\hat{f}}^c(\nu )={\hat{f}}^c(-\nu )$ для любого $\nu$.

Обратное синус- и косинус-преобразование Фурье

Изначальная функция $f(t)$ может быть найдена по формуле

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\hat{f}}^c\cos (2\pi \nu t)d\nu +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\hat{f}}^s\sin (2\pi \nu t)d\nu .$

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

$\frac{\pi }{2}(f(x+0)+f(x-0))=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,$,

где

$f(x+0)$ и $f(x-0)$ — право- и левосторонние пределы соответственно.

Если функция $f(t)$ чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если $f(t)$ нечётная, то исчезает косинус.

Расширение на комплексные числа

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

$\hat{f}(\nu )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-2\pi i\nu t}dt.$

Используя формулу Эйлера, получим

$\hat{f}(\nu )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)(\cos 2\pi \nu t-i\sin 2\pi \nu t)dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos 2\pi \nu tdt-i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin 2\pi \nu tdt=\frac{1}{2}{\hat{f}}^c(\nu )-\frac{i}{2}{\hat{f}}^s(\nu ).$

См. также

• Преобразование Фурье;
• Дискретное косинусное преобразование.

Ссылки

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211