Преобразование Конторовича — Лебедева

Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование, задаваемое для функции $f(x)$ формулой:

$F(\tau )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)K_{i\tau }(x)dx,$

где $K_{\nu }(x)$ — функция Макдональда. Обратное преобразование имеет вид:

$f(x)=\frac{2}{{\pi }^{2}x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{K}_{i\tau }(x)\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau F(\tau )d\tau ,x>0.$

Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.

Другие определения

Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:

$F^s(\tau )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)\frac{K_{i\tau }(x)}{\sqrt{x}}dx,\tau ⩾0,$

$f(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{F}^s(\tau )\frac{2\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau }{{\pi }^2}\frac{K_{i\tau }(x)}{\sqrt{x}}d\tau ,x>0.$

Ещё одним вариантом определения является:

$F^a(\tau )=\frac{2\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau }{{\pi }^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)\frac{K_{i\tau }(x)}{x}dx,\tau ⩾0,$

$f(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{F}^a(\tau )K_{i\tau }(x)d\tau ,x>0.$

Условия обратимости

Пусть функция $f(x)$ является непрерывной вместе со своей производной, удовлетворяющая условиями $xf(x),x^{2}f(x)\in L(0,+\mathrm{\infty })$, тогда она может быть получена из своего образа $F(\tau )$ посредством обратного преобразования:

$f(x)=\frac{2}{{\pi }^{2}x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{K}_{i\tau }(x)\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau F(\tau )d\tau .$

Более общая формула обращения может быть получена, если $f(x)$ имеет ограниченное изменение в точке $x_0>0$ и

$f(x)\ln x\in L(0,\frac{1}{2}),f(x)\sqrt{x}\in L(\frac{1}{2},\mathrm{\infty }),$

тогда:

$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}=\frac{2}{{\pi }^2{x}_0}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{K}_{i\tau }(x_0)\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau F(\tau )d\tau$,

в частности если, кроме того, для любого $x$ выполнено:

$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=f(x)$,

то

$f(x)=\frac{2}{{\pi }^{2}x}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{K}_{i\tau }(x)\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau F(\tau )d\tau .$

Теорема Парсеваля

Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля:

Пусть $g(x)$ — вещественная функция, удовлетворяющая условиям:

• $g(x)x^{-\frac{3}{4}}\in L(0,+\mathrm{\infty }),$

• $g(x)\in L_2(0,+\mathrm{\infty }),$

$G(\tau )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(x)\frac{\sqrt{2\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau }}{\pi }\frac{K_{i\tau }(x)}{\sqrt{x}}dx$

тогда

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(G(\tau ))}^{2}d\tau ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(g(x))}^{2}dx.$

Справедлива и более общая теорема:

Пусть $g_i(x),i=1,2$ — две вещественные функции, удовлетворяющая условиям:

• $g_i(x)x^{-\frac{3}{4}}\in L(0,+\mathrm{\infty }),$

• $g_i(x)\in L_2(0,+\mathrm{\infty }),$

$G_i(\tau )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{g}_i(x)\frac{\sqrt{2\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau }}{\pi }\frac{K_{i\tau }(x)}{\sqrt{x}}dx$

тогда

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{G}_1(\tau )G_2(\tau )d\tau ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{g}_1(x)g_2(x)dx.$

Таблица преобразований

	Функция $f(x)$	Образ $F(\tau )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)K_{i\tau }(x)dx,\tau >0.$
1	$x\sin (\alpha x),|\mathrm{I}\mathrm{m}\alpha |<\frac{\pi }{2}$	$\frac{\pi \tau }{2}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha e^{-\tau \mathrm{c}\mathrm{h}\alpha }$
2	$\cos (\alpha x),|\mathrm{I}\mathrm{m}\alpha |<\frac{\pi }{2}$	$\frac{\pi }{2}{e}^{-\tau \mathrm{c}\mathrm{h}\alpha }$
3	$x\mathrm{t}\mathrm{h}(\pi x)P_{-\frac{1}{2}+ix}(z)$	$\sqrt{\frac{\pi \tau }{2}}{e}^{-\tau z}$
4	$x\mathrm{t}\mathrm{h}(\pi x)K_{ix}(z),|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\pi$	$\frac{\pi }{2}\sqrt{\tau z}\frac{e^{-\tau -z}}{z+\tau }$
5	$x\mathrm{s}\mathrm{h}(\pi x)K_{2ix}(z),|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\frac{\pi }{4}$	$\sqrt{\frac{{\pi }^3{z}^2}{2^5\tau }}{e}^{-\tau -\frac{z^2}{8\tau }}$
6	$x\sin (\frac{\pi x}{2})K_{\frac{ix}{2}}(z),|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\frac{\pi }{2}$	$\sqrt{\frac{{\pi }^3{\tau }^2}{2z}}{e}^{-z-\frac{{\tau }^2}{8z}}$
7	$\mathrm{c}\mathrm{h}(\alpha x)K_{ix}(z),|\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha |+|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\pi$	$\frac{\pi }{2}{K}_0(\sqrt{{\tau }^2+z^2+2z\tau \cos \alpha })$
8	$\frac{x}{x^2+n^2}\mathrm{s}\mathrm{h}(\pi x)K_{ix}(z),z>0,n\in {\mathbb{Z}}_{+}$	$\frac{{\pi }^2}{2}{I}_n(\tau )K_n(z),0<\tau <z$ $\frac{{\pi }^2}{2}{I}_n(z)K_n(\tau ),z<\tau <\mathrm{\infty }$
9	$x\mathrm{s}\mathrm{h}(\pi x)K_{ix}(y)K_{ix}(z),$ $|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}y|+|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\frac{\pi }{2}$	$\frac{{\pi }^2}{4}{e}^{-\frac{\tau }{2}(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{yz}{{\tau }^2})}$
10	$x\mathrm{s}\mathrm{h}(\frac{\pi x}{2})K_{\frac{ix}{2}}(y)K_{\frac{ix}{2}}(z),$ $|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}y|+|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\pi$	$\frac{{\pi }^2\tau }{2\sqrt{{\tau }^2+4yz}}{e}^{-\frac{(y+z)}{2}\sqrt{\frac{{\tau }^2}{yz}+4}}$
11	$x\mathrm{s}\mathrm{h}(\pi x)K_{\frac{ix}{2}+\lambda }(z)K_{\frac{ix}{2}-\lambda }(z),z>0$	$0,0<\tau <2z$ $\frac{{\pi }^2\tau }{2^{2\lambda +1}{z}^{2\lambda }\sqrt{{\tau }^2-4z^2}}((\tau +\sqrt{{\tau }^2-4z^2}{)}^{2\lambda }+$ $+(\tau -\sqrt{{\tau }^2-4z^2}{)}^{2\lambda }),2z<\tau <\mathrm{\infty }$
12	$x\mathrm{s}\mathrm{h}(\pi x)\mathrm{\Gamma }(\lambda +ix)\mathrm{\Gamma }(\lambda -ix)K_{ix}(z),$ $|\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z|<\pi ,\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda >0$	$2^{\lambda -1}{\pi }^{\frac{3}{2}}(z\tau {)}^{\lambda }(\tau +z{)}^{-\lambda }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\frac{1}{2})K_{\lambda }(\tau +z)$

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:

$F_{\alpha }(\tau )=\frac{2\tau \mathrm{s}\mathrm{h}\pi \tau }{{\pi }^2|I_{i\alpha }(\alpha ){|}^2}{\int }_0^{\alpha }(K_{i\tau }(\alpha )I_{i\tau }(x)-K_{i\tau }(x)I_{i\tau }(\alpha ))f(x)\frac{dx}{x},\tau >0$

где $I_{\nu }(x)$ — функция Инфельда.

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Шаблон:Книга
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970