Преобразование Гильберта

Преобразова́ние Ги́льберта в математике и обработке сигналов — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции $u(t)$ от действительной переменной функцию $H(u)(t)$ в той же области с помощью свёртки исходной функции с функцией $1/(\pi t)$. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса — Кронига, связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

Определение

Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает главное значение несобственного интеграла по Коши):

$H(u)(t)=\frac{1}{\pi }\mathrm{v.p.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(\tau )}{t-\tau }d\tau ,$

или, более явно:

$H(u)(t)=\frac{1}{\pi }\underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }d\tau =\frac{2}{\pi }\underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }d\tau =H(\delta )(t)\ast u(t):=\delta (jt)\ast u(t).$

Свойства

Результат двукратного применения преобразования Гильберта — исходная функция с обратным знаком:

$H(H(u))(t)=-u(t),$

при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию $H(u(t))$, ортогональную функции $u(t)$.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

$ℱ(H(u))(\omega )=-i\mathrm{sgn}(\omega )\cdot ℱ(u)(\omega ),$

где $ℱ(u)(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)e^{-i\omega t}dt$ — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразование

$H^{-1}=-H.$

Некоторые преобразования Гильберта

В следующей таблице параметр частоты $\omega$ является действительным числом.

Сигнал $u(t)$	Преобразование Гильберта $H(u)(t)$
константа	0
$\sin \omega t$	$\mathrm{sgn}(\omega )\sin (\omega t-\frac{\pi }{2})=-\mathrm{sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\mathrm{sgn}(\omega )\cos (\omega t-\frac{\pi }{2})=\mathrm{sgn}(\omega )\sin \omega t$
$e^{i\omega t}$	$\mathrm{sgn}(\omega )e^{i(\omega t-\frac{\pi }{2})}=-i\cdot \mathrm{sgn}(\omega )e^{i\omega t}$
$\frac{1}{t^2+1}$	$\frac{t}{t^2+1}$
$e^{-t^2}$	$2{\pi }^{-1/2}F(t)$ (Шаблон:Math — интеграл Доусона)
Sinc $\frac{\sin t}{t}$	$\frac{1-\cos t}{t}$
Характеристическая функция над отрезком Шаблон:Math ${\chi }_{[a,b]}(t)$	$\frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t-a}{t-b}\right|$
Прямоугольная функция (частный случай предыдущего) $\sqcap (t)$	$\frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}\right|$
Дельта-функция $\delta (t)$	$\frac{1}{\pi t}$

Геометрический смысл

Для $2\pi$-периодических функций, то есть определённых на единичной окружности, преобразование Гильберта имеет интерпретацию в терминах геометрии бесконечномерных однородных пространств. Именно, группа ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{+}(S^1)$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности имеет факторпространство ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{+}(S^1)/\mathrm{U}(1)$ по подгруппе, состоящей из поворотов (то есть сохранящих ориентацию изометрий окружности). Он называется пространством Кириллова — Юрьева, и имеет однородную комплексную структуру. Связанный с ней тензор — это и есть преобразование Гильберта. В самом деле, касательное пространство к пространству Кириллова — Юрьева это фактор алгебры векторных полей на окружности по постоянным векторным полям. Касательное расслоение к окружности тривиально, так что векторные поля можно отождествить с $2\pi$-периодическими функциями, при этом постоянные векторные поля перейдут в константы. На факторе функций на окружности по константам преобразование Гильберта действительно действует как оператор комплексной структуры (то есть оператор с квадратом $-\mathrm{I}\mathrm{d}$); его собственное подпространство для собственного числа $\sqrt{-1}$ (то, что называется в теории Ходжа $(1,0)$-подпространство) есть пространство Харди — граничные значения непрерывных функций на единичном диске, голоморфных на его внутренности (иначе говоря, $2\pi$-периодические функции, все ненулевые гармоники Фурье которых имеют положительные номера).

Пространство Кириллова — Юрьева допускает расслоение над другим бесконечномерным однородным пространством ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{+}(S^1)/\mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(S^1)$, фактором группы диффеоморфизмов по граничным значениям мёбиусово преобразование (дробно-линейных) преобразований диска. Легко видеть, что слои этого расслоения суть однородные пространства $\mathrm{M}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{b}(S^1)/\mathrm{U}(1)$, биголоморфные единичным дискам. Это расслоение популяризовал А. Г. Сергеев.

Можно работать и в обратную сторону. Хорошо известен другой пример расслоения на окружности, база которого имеет естественную комплексную структуру, это расслоение Хопфа $S^{2n+1}\to ℂ{\mathrm{P}}^n$. Конус же над сферой может быть отождествлён с комплексным векторным пространством ${ℂ}^{n+1}$, из которого выброшен нуль. Так же и группа ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{+}(S^1)$ может быть расширена группой ${ℝ}_{>0}$ (такое расширение является алгебраическим аналогом восстановления конуса) таким образом, что получившаяся группа будет иметь структуру бесконечномерной комплексной группы Ли. На уровне алгебр Ли это расширение задаётся коциклом Гельфанда — Фукса, который в терминах функций на окружности пишется как $\omega (f,g)={\int }_{S^1}\left|\begin{array}{cc}{f}^{\prime }& g^{\prime }\\ f^{″}& g^{″}\end{array}\right|dx$. Соответствующая группа называется группой Вирасоры (иногда Ботта — Вирасоры) и имеет основополагающее значение в теории струн и других разделах конформной теории поля.

См. также

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Соотношения Крамерса — Кронига