Теория Ходжа

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:

• Римановы многообразия
• Кэлеровы многообразия
• Комплексные проективные многообразия.

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры

Когомологии де Рама

Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многообразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ω^k(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

$0\to ℝ\stackrel{d_{-1}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^0(M)\stackrel{d_0}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\stackrel{d_1}{\to }\cdots \stackrel{d_{n-1}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^n(M)\stackrel{d_n}{\to }0$

где d_k обозначает внешнюю производную на Ω^k(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

$H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{i}\mathrm{m}{d}_{k-1}}.$

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый $\delta :$ достаточно потребовать, чтобы для всех α ∈ Ω^k(M) и β ∈ Ω^k+1(M) выполнялось соотношение

$\underset{M}{\int }⟨d\alpha ,\beta {⟩}_{k+1}dV=\underset{M}{\int }⟨\alpha ,\delta \beta {⟩}_{k}dV$

где $⟨,{⟩}_k$ — метрика, индуцированная на ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$. Теперь лапласиан можно определить как $\mathrm{\Delta }=d\delta +\delta d$. Это позволяет определить пространства гармонических форм:

${\mathscr{H}}_{\mathrm{\Delta }}^k(M)=\{\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)\mid \mathrm{\Delta }\alpha =0\}.$

Можно показать, что $d{\mathscr{H}}_{\mathrm{\Delta }}^k(M)=0$, поэтому существует каноническое отображение $\phi :{\mathscr{H}}_{\mathrm{\Delta }}^k(M)\to H^k(M)$. Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что $\phi$ — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многообразии конечномерны. Это следует из того, что операторы $\mathrm{\Delta }$ эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Структуры Ходжа

Шаблон:Main Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства $W$ структура Ходжа на $W$ — это разложение его комплексификации $W^{ℂ}=W\otimes ℂ$ в $\mathbb{N}$-градуированную прямую сумму

$W^{ℂ}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}\underset{p=0}{\overset{k}{⨁}}{W}^{p,k-p}$

причём комплексное сопряжение на $W^{ℂ}$ переставляет градуированные слагаемые $W^{p,q}$ и $W^{q,p}$:

$\overline{W^{p,q}}=W^{q,p}$

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами $H^k(V,ℝ)$ неособого комплексного проективного многообразия $V$ имеют такую структуру Ходжа:

$H^k=\underset{p=0}{\overset{k}{\oplus }}{H}^{p,k-p}$

где $H^{p,q}$ — группы когомологий Дольбо многообразия $V$. Отсюда следует связь между числами Бетти $b_k=\dim H^k$ и $h_{p,q}=\dim H^{p,q}$:

$b_k=\sum _{p=0}^k{h}_{p,k-p}$

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку $(p,q)$ (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков $H^q(V,{\mathrm{\Omega }}^p)$, в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга