Оператор Лапласа — Бельтрами

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии $M$.

В координатах $x_1,\dots ,x_n,$ где $n=\dim M,$ оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть $(g_{ij})$ — матрица метрического тензора риманова многообразия, $(g^{ij})$ — обратная матрица и $g=\det (g_{ij})$, тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

$-\sum _{i,j}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(g^{ij}\sqrt{g}\frac{\partial }{\partial x_j}\right).(*)$

Примеры

• В случае, когда $M$ — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой $(g_{ij})=({\delta }_{ij})$ — единичная матрица, оператор Лапласа — Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа.

• Пусть $\dim M=2$ и метрический тензор имеет вид $d{s}^2=E(x,y)d{x}^2+2F(x,y)dxdy+G(x,y)d{y}^2,$ тогда формула (*) принимает вид

  $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{F\frac{\partial }{\partial y}-G\frac{\partial }{\partial x}}{\sqrt{EG-F^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{F\frac{\partial }{\partial x}-E\frac{\partial }{\partial y}}{\sqrt{EG-F^2}}\right).(**)$

• Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка $Lf=0,$ где оператор $L$ задан формулой (**), разрешимо, если функции $E,F,G$ аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изометрических (конформных) координат на поверхности $M$, т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.

Литература

• Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
• Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.