Пространство Харди

Шаблон:Другие значения термина Пространство Харди — особый вид функциональных пространств в комплексном анализе, аналог $L^p$-пространства из функционального анализа. Названо по имени английского математика Харди.

Определение

Пространство Харди $H^p$ при $0<p<\mathrm{\infty }$ — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости, удовлетворяющих следующему условию

$\underset{0<r<1}{\sup }{\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f(r{e}^{i\theta })|}^{p}d\theta \right)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$

Левая часть этого неравенства называется $p$-нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для $f$, и обозначается $|f{|}_{H^p}$. Как и в случае $L^p$-пространств, данная норма обобщается на случай $p=\mathrm{\infty }$ как

$|f{|}_{H^{\mathrm{\infty }}}=\underset{0<r<1}{\sup }\underset{z:|z|=r}{\sup }|f(z)|=\underset{z:|z|<1}{\sup }|f(z)|.$

Для случая $0<p<q\le \mathrm{\infty }$ можно показать, что $H^q$ является подмножеством множества $H^p$.

Применения

Подобные пространства применяются как в классическом математическом анализе, так и в других ветвях анализа и его приложениях, например, гармоническом анализе, теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления) и теории рассеивания.

См. также

• H∞-управление
• Теорема Фату