H∞-управление

H на бесконечности или ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$ — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и устойчивому управлению.

$\mathscr{H}$ является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Постановка задачи

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

Объект управления $P$ имеет два входа, два внешних воздействия $w$, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена $u$. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки $z$, который надо минимизировать, и измеренная переменная $v$, которая используется в контуре управления. $v$ используется в K для подсчёта переменной $u$.

Уравнение системы:

$\left[\begin{array}{c}z\\ v\end{array}\right]=P(s)\left[\begin{array}{c}w\\ u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}(s)& P_{12}(s)\\ P_{21}(s)& P_{22}(s)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}w\\ u\end{array}\right]$

$u=K(s)v$

Таким образом возможно выразить зависимость $z$ от $w$:

$z=F_l(P,K)w$

И далее:

$F_l(P,K)=P_{11}+P_{12}K(I-P_{22}K{)}^{-1}{P}_{21}$

Таким образом, целью ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-оптимального управления является синтез такого контроллера $K$, $F_l(P,K)$, который минимизировал бы ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-норму системы. То же относится и к ${\mathscr{H}}_2$-управлению. Норма на бесконечности матрицы$F_l(P,K)$ определяется как:

$||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{\omega }{\sup }\overline{\sigma }(F_l(P,K)(j\omega ))$

где $\overline{\sigma }$ — максимальное сингулярное число матрицы $F_l(P,K)(j\omega )$.

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (Шаблон:Lang-en)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

$min(||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty }})\le 1$.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-управления».

Преимущества и недостатки

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

• Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
• Простой одношаговый алгоритм.
• Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

Свойства ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-контроллеров

1. Весовая функция ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы $\overline{\sigma }$ выполняется соотношение:

$\overline{\sigma }(F_l(P,K))=1$ для любого $\omega \in R$

2. ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-оптимальный контроллер имеет порядок максимум $n-1$, где $n$ — порядок объекта управления.

Условия существования ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-контроллеров

Для того, чтобы существовал ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-контроллер в стандартной задаче:

$min(||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty }})\le 1$

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)+B(t)𝐮(t)$

$𝐲(t)=C(t)𝐱(t)+D(t)𝐮(t)$

Шаблон:Начало цитаты Должен существовать закон пропорционального управления $F(s)=K$ такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы $D$ замкнутой системы удовлетворяло неравенству ${\sigma }_n(D)<1$ Шаблон:Конец цитаты 2. Уравнение Риккати для управления Шаблон:Начало цитаты Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $P\ge 0$. Шаблон:Конец цитаты 3. Уравнение Риккати для наблюдателя Шаблон:Начало цитаты Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $S\ge 0$. Шаблон:Конец цитаты 4. Ограничение по собственным числам: Шаблон:Начало цитаты Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: ${\lambda }_{max}(PS)<1$ Шаблон:Конец цитаты

См. также

• Робастное управление

Библиография

• Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
• R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.