Индикатор (математика)

Шаблон:Значения Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества $A\subseteq X$ — это функция, определённая на множестве $X$, которая указывает на принадлежность элемента $x\in X$ подмножеству $A$.

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Определение

Пусть $A\subseteq X$ — выбранное подмножество произвольного множества $X$. Функция ${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\}$, определённая следующим образом:

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in A,\\ 0,& x\notin A,\end{array}$

называется индикатором множества $A$.

Альтернативными обозначениями индикатора множества $A$ являются: ${\chi }_A$ или ${𝐈}_A$, а иногда даже $A(x)$ а также скобка Айверсона $[x\in A]$.

(Греческая буква $\chi$ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение ${\mathrm{𝟏}}_A$ может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество $A\subseteq X$ с его индикатором ${\mathrm{𝟏}}_A$ инъективно. Если $A$ и $B$ — два подмножества $X$, то

${\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}=\min \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A{\mathrm{𝟏}}_B,$

${\mathrm{𝟏}}_{A\cup B}=\max \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-{\mathrm{𝟏}}_A{\mathrm{𝟏}}_B,$

${\mathrm{𝟏}}_{A\mathrm{△}B}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-2({\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}),$

${\mathrm{𝟏}}_{A^c}=1-{\mathrm{𝟏}}_A.$

Более обобщённо, предположим $A_1,\dots ,A_n$ — это набор подмножеств $X$. Ясно, что для любого $x\in X$

$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x))$

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех $x\in X$, которые не принадлежат ни одному множеству $A_k$ и 0 иначе. Поэтому

$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k})={\mathrm{𝟏}}_{X-\bigcup _k{A}_k}=1-{\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}.$

Разворачивая левую часть, получаем

${\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}=\sum _{\mathrm{\varnothing }\ne F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|+1}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k},$

где $|F|$ — мощность $F$. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если $X$ — вероятностное пространство с вероятностной мерой $𝐏$, а $A$ — измеримое множество, то индикатор ${\mathrm{𝟏}}_A$ становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности $A:$

$E({\mathrm{𝟏}}_A)=\underset{X}{\int }{\mathrm{𝟏}}_A(x)d𝐏=\underset{A}{\int }d𝐏=𝐏(A).$

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. также

• Простая функция
• Функция принадлежности