Скобка Айверсона

Шаблон:О Скобка Айверсона — функция, возвращающая 1 для истинного высказывания, и 0, если аргумент ложный:

$[P]=\{\begin{array}{cc}1,& \text{если }P\text{ истинно}\\ 0,& \text{если }P\text{ ложно}\end{array}$

Нотация введена Кеннетом Айверсоном для языка программирования APL, и оказалась очень удобным математическим обозначением, например, с ним можно лаконично определить:

• символ Кронекера: ${\delta }_{ij}=[i=j]$,
• индикаторную функцию: ${\mathrm{𝟏}}_A(x)=[x\in A]$,
• функцию Хевисайда: $\theta (x)=[x⩾0]$,
• функцию знака числа: $\mathrm{sgn}(x)=[x>0]-[x<0]$.

Также нотация удобна при обращении с суммами, поскольку позволяет выражать их без ограничений на индекс суммирования, например:

$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _k{a}_k[1⩽k⩽n]$,

то есть индекс $k$ пробегает всё множество $\mathbb{Z}$ целых чисел, и формально суммируется бесконечное число слагаемых, но лишь конечное число их отлично от нуля.

Пример вычисления с использованием нотации Айверсона суммы $S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n{a}_i{a}_j$ для последовательности $\{a_i\}$:

$[i<j]+[i=j]+[i>j]=1$,

$\sum _{i,j}{a}_i{a}_j[i<j]+\sum _{i,j}{a}_i{a}_j[i=j]+\sum _{i,j}{a}_i{a}_j[i>j]=\sum _{i,j}{a}_i{a}_j$,

$S+\sum _i{a}_i^2+S=(\sum _i{a}_i{)}^2$,

а так как для правой части:

$\sum _{i,j}{a}_i{a}_j=\sum _i\sum _j{a}_i{a}_j=\sum _i{a}_i\sum _j{a}_j=(\sum _i{a}_i{)}^2$,

то:

$S=\sum _{1\le i<j\le n}{a}_i{a}_j=\frac{1}{2}(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{a}_i^2$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга