Функция принадлежности

Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.

Определение

Для пространства рассуждения $𝐗$ и данной функции принадлежности $\mu :𝐗\to [0,1]$ нечёткое множество определяется как

$\widetilde{𝐴}=\{(x,{\mu }_A(x))\mid x\in 𝐗\}.$

Функция принадлежности ${\mu }_A(x)$ количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения $x\in 𝐗$ нечёткому множеству $\widetilde{𝐴}$. Значение $0$ означает, что элемент не включен в нечёткое множество, $1$ описывает полностью включенный элемент. Значения между $0$ и $1$ характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечёткое множество и классическое, четкое (crisp) множество

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности ${\mu }_A(x)$ справедливо утверждение, что существует такой $x\in 𝐗$, при котором ${\mu }_A(x)=1$.

Функция принадлежности класса s

Функция принадлежности класса s определяется как:

$s(x;a,b,c)=\{\begin{array}{cc}0,& x⩽a,\\ 2{\left(\frac{x-a}{c-a}\right)}^2,& a⩽x⩽b,\\ 1-2{\left(\frac{x-c}{c-a}\right)}^2,& b⩽x⩽c,\\ 1,& x⩾c,\end{array}$

где $b=\frac{a+c}{2}$.

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s:

$\pi (x;a,b,c)=\{\begin{array}{cc}s(x;c-b,c-\frac{b}{2},c),& x⩽c,\\ 1-s(x;c,c+\frac{b}{2},c+b),& x⩾c,\end{array}$

где $b=\frac{a+c}{2}$.

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

$\gamma (x;a,b)=\{\begin{array}{cc}0,& x⩽a,\\ \frac{x-a}{b-a},& a⩽x⩽b,\\ 1,& x⩾b,\end{array}$

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

$t(x;a,b,c)=\{\begin{array}{cc}0,& x⩽a,\\ \frac{x-a}{b-a},& a⩽x⩽b,\\ \frac{c-x}{c-b},& b⩽x⩽c,\\ 0,& x⩾c,\end{array}$

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

$L(x;a,b)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩽a,\\ \frac{b-x}{b-a},& a⩽x⩽b,\\ 0,& x⩾b,\end{array}$

См. также

• Теория нечёткой меры
• Операции над нечёткими множествами
• Грубое множество
• Эвентология
• Скалярное ранжирование

Литература

• Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. — Шаблон:М.:Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с — ISBN 5-93517-103-1