Нечёткое множество

Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Шаблон:Iw, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале $[0,1]$, а не только значения $0$ или $1$. Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество.

Определение

Под нечётким множеством $A$ понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов $x$ универсального множества $X$ и соответствующих степеней принадлежности ${\mu }_A(x)$:

$A=\{(x,{\mu }_A(x))\mid x\in X\}$,

причём ${\mu }_A(x)$ — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент $x$ принадлежит нечёткому множеству $A$. Функция ${\mu }_A(x)$ принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве $M$. Множество $M$ называют множеством принадлежностей, часто в качестве $M$ выбирается отрезок $[0,1]$. Если $M=\{0,1\}$ (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения

Пусть $A$ нечёткое множество с элементами из универсального множества $X$ и множеством принадлежностей $M=[0,1]$. Тогда:

• носителем (суппортом) нечёткого множества $\mathrm{supp}A$ называется множество $\{x\mid x\in X,{\mu }_A(x)>0\}$;
• величина $\underset{x\in X}{\sup }{\mu }_A(x)$ называется высотой нечёткого множества $A$. Нечёткое множество $A$ нормально, если его высота равна $1$. Если высота строго меньше $1$, нечёткое множество называется субнормальным;
• нечёткое множество пусто, если $\mathrm{\forall }x\in X:{\mu }_A(x)=0$. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

  $\mu {\text{'}}_A(x)=\frac{{\mu }_A(x)}{\sup {\mu }_A(x)}$;

• нечёткое множество унимодально, если ${\mu }_A(x)=1$ только на одном $x$ из $X$;
• элементы $x\in X$, для которых ${\mu }_A(x)=0,5$, называются точками перехода нечёткого множества $A$.

Сравнение нечётких множеств

Пусть $A$ и $B$ — нечёткие множества, заданные на универсальном множестве $X$.

• $A$ содержится в $B$, если для любого элемента из $X$ функция его принадлежности множеству $A$ будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству $B$:

  $A\subset B\iff \mathrm{\forall }x\in X:{\mu }_A(x)⩽{\mu }_B(x)$.

• В случае, если условие ${\mu }_A(x)⩽{\mu }_B(x)$ выполняется не для всех $x\in X$, говорят о степени включения нечёткого множества $A$ в $B$, которое определяется так:

  $l(A\subset B)=\underset{x\in T}{\min }{\mu }_B(x)$, где $T=\{x\in X;{\mu }_A(x)⩽{\mu }_B(x),{\mu }_A(x)>0\}$.

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

  $A=B\iff \mathrm{\forall }x\in X:{\mu }_A(x)={\mu }_B(x)$.

• В случае, если значения функций принадлежности ${\mu }_A(x)$ и ${\mu }_B(x)$ почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств $A$ и $B$, например, в виде

  $E(A=B)=1-\underset{x\in T}{\max }|{\mu }_A(x)-{\mu }_B(x)|$, где $T=\{x\in X;{\mu }_A(x)\ne {\mu }_B(x)\}$.

Свойства нечётких множеств

$\alpha$-срезом нечёткого множества $A\subseteq X$, обозначаемым как $A_{\alpha }$, называется следующее чёткое множество:

$A_{\alpha }=\{x\in X\mid {\mu }_A(x)⩾\alpha \}$,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

${\chi }_{A_{\alpha }}(x)=\{\begin{array}{cc}0,& {\mu }_A(x)<\alpha ,\\ 1,& {\mu }_A(x)⩾\alpha .\end{array}$

Для $\alpha$-среза нечёткого множества истинна импликация:

${\alpha }_1<{\alpha }_2\Rightarrow A_{{\alpha }_1}\supset A_{{\alpha }_2}$.

Нечёткое множество $A\subseteq 𝐑$ является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\mu }_A[\gamma x_1+(1-\gamma )x_2]⩾⟨{\mu }_A(x_1)\wedge {\mu }_A(x_2)=\min \{{\mu }_A(x_1),{\mu }_A(x_2)\}⟩$

для любых $x_1,x_2\in 𝐑$ и $\gamma \in [0,1]$.

Нечёткое множество $A\subseteq 𝐑$ является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\mu }_A[\gamma x_1+(1-\gamma )x_2]⩽⟨{\mu }_A(x_1)\vee {\mu }_A(x_2)=\max \{{\mu }_A(x_1),{\mu }_A(x_2)\}⟩$

для любых $x_1,x_2\in 𝐑$ и $\gamma \in [0,1]$.

Операции над нечёткими множествами

При множестве принадлежностей $M=[0,1]$

• Пересечением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности $A$ и $B$:

  ${\mu }_{A\cap B}(x)=\min ({\mu }_A(x),{\mu }_B(x))$.

• Произведением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  ${\mu }_{AB}(x)={\mu }_A(x){\mu }_B(x)$.

• Объединением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности $A$ и $B$:

  ${\mu }_{A\cup B}(x)=\max ({\mu }_A(x),{\mu }_B(x))$.

• Суммой нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  ${\mu }_{A+B}(x)={\mu }_A(x)+{\mu }_B(x)-{\mu }_A(x){\mu }_B(x)$.

• Отрицанием множества $A$ называется множество $\bar{A}$ с функцией принадлежности:

  ${\mu }_{\bar{A}}(x)=1-{\mu }_A(x)$ для каждого $x\in X$.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

${\mu }_{A\cap B}(x)=T({\mu }_A(x),{\mu }_B(x))$,

где функция $T$ — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• ${\mu }_{A\cap B}(x)={\mu }_A(x)\wedge {\mu }_B(x)=\min ({\mu }_A(x),{\mu }_B(x))$
• ${\mu }_{A\cap B}(x)={\mu }_A(x){\mu }_B(x)$
• ${\mu }_{A\cap B}(x)=\max \{0,{\mu }_A(x)+{\mu }_B(x)-1\}$
• ${\mu }_{A\cap B}(x)=\{\begin{array}{cc}{\mu }_A(x),& {\mu }_B(x)=1\\ {\mu }_B(x),& {\mu }_A(x)=1\\ 0,& {\mu }_A(x)<1,{\mu }_B(x)<1,\end{array}$
• ${\mu }_{A\cap B}(x)=1-\min \{1,[(1-{\mu }_A(x){)}^p+(1-{\mu }_B(x){)}^p{]}^{\frac{1}{p}}\}$, для $p⩾1$

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

${\mu }_{A\cup B}(x)=S({\mu }_A(x),{\mu }_B(x))$,

где функция $S$ — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• ${\mu }_{A\cup B}(x)={\mu }_A(x)\vee {\mu }_B(x)=\max ({\mu }_A(x),{\mu }_B(x))$
• ${\mu }_{A\cup B}(x)={\mu }_A(x)+{\mu }_B(x)-{\mu }_A(x){\mu }_B(x)$
• ${\mu }_{A\cup B}(x)=\min \{1,{\mu }_A(x)+{\mu }_B(x)\}$
• ${\mu }_{A\cup B}(x)=\{\begin{array}{cc}{\mu }_A(x),& {\mu }_B(x)=0\\ {\mu }_B(x),& {\mu }_A(x)=0\\ 1,& {\mu }_A(x)>0,{\mu }_B(x)>0\end{array}$
• ${\mu }_{A\cup B}(x)=\min \{1,[{\mu }_A^p(x)+{\mu }_B^p(x){]}^{\frac{1}{p}}\}$, для $p⩾1$

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности ${\mu }_A(x)$ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента $x$ некоторым случайным множеством $B$.

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры

Пусть:

• множество $X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$
• множество принадлежностей $M=[0,1]$
• $A$ и $B$ — два нечётких подмножества $X$
  • $A=\{(x_1\mid 0,4),(x_2\mid 0,6),(x_3\mid 0),(x_4\mid 1)\}$
  • $B=\{(x_1\mid 0,3),(x_2\mid 0),(x_3\mid 0),(x_4\mid 0,2)\}$

Результаты основных операций:

• пересечение: $A\cap B=\{(x_1\mid 0,3),(x_2\mid 0),(x_3\mid 0),(x_4\mid 0,2)\}=B$
• объединение: $A\cup B=\{(x_1\mid 0,4),(x_2\mid 0,6),(x_3\mid 0),(x_4\mid 1)\}=A$

См. также

• Мягкое множество

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга