Прямоугольная функция

Прямоугольная функция

Прямоуго́льная фу́нкция, едини́чный и́мпульс, прямоуго́льный импульс, или нормированное прямоугольное окно́ — кусочно-постоянная функция следующего вида:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}0,& |t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2},& |t|=\frac{1}{2}\\ 1,& |t|<\frac{1}{2}\end{array}$

В этом определении в точках разрыва значение функции определено равным 1/2, но возможно определение этих значений иным способом, например, равным 0 и другими вариантами.

Другое определение функции через функцию Хевисайда $\theta (t)$:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{\tau }\right)=\theta (t+\frac{\tau }{2})-\theta (t-\frac{\tau }{2}),$

или, иначе:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\theta (t+\frac{1}{2})-\theta (t-\frac{1}{2}).$

Значение функции в точках разрыва зависит от определения значения функции Хевисайда в её точке разрыва.

Интеграл прямоугольной функции по всей прямой:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)dt=1.$

Спектр прямоугольной функции

Функция sinc(x) является спектром прямоугольной функции

Спектральный образ прямоугольной функции:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\omega }{2}\right),$

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\omega }{2}\right)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega /2)}{(\omega /2)}$ — ненормированная sinc-функция.

При использовании нормированной sinc-функции:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f).$

Свёртка прямоугольных функций

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)*\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t).$

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. также

• Преобразование Фурье
• Треугольная функция
• Функция Хевисайда
• Атомарная функция