Атомарная функция

Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

$Ly(x)=\sum _{k=1}^M{c}_{k}y(ax-b_k),$

где $L$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты $a,b_k,c_k\in ℝ$, причём $|a|>1$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция $\mathrm{up}(x)$ (читается: «ап от $x$»Шаблон:Sfn)  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

$\frac{1}{2}{y}^{\prime }(x)=y(2x+1)-y(2x-1)$

с носителем $\mathrm{supp}\mathrm{up}(x)=(-1,1),$ которое удовлетворяет условию нормировки $\mathrm{up}(0)=1$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно).

Атомарная функция $\mathrm{u}\mathrm{p}(x)$ и её производная

Преобразование Фурье функции $\mathrm{up}(x)$ имеет вид

$\widehat{\mathrm{up}}(t)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sinc}\frac{t}{2^k},$

где $\mathrm{sinc}=\sin x/x$ — sinc-функция.

Функция $\mathrm{up}(x)$ — чётная, возрастает на интервале $[-1,0]$, убывает на интервале $[0,1],$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, $\mathrm{up}(1-x)=1-\mathrm{up}(x)$ при $x\in [0,1]$. Таким образом, целочисленные сдвиги $\mathrm{up}(x)$ образуют разбиение единицы:

$\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{up}(x-j)\equiv 1.$

Значения $\mathrm{up}(x)$ в двоично-рациональных точках вида $2^{-n}k$ — рациональные числа. Функция $\mathrm{up}(x)$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения $\mathrm{up}(x)$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции $\mathrm{up}(x)$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий $\mathrm{up}(x)$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h_a(x), совершенные сплайны

Атомарные функции ${\mathrm{h}}_a(x)$ (при $a>1$) являются обобщением функции $\mathrm{up}(x)$. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид

$\frac{2}{a^2}{y}^{\prime }(x)=y(ax+1)-y(ax-1).$

Таким образом, $\mathrm{up}(x)\equiv {\mathrm{h}}_2(x).$ Преобразование Фурье функции ${\mathrm{h}}_a(x)$ имеет вид

$\widehat{{\mathrm{h}}_a}(t)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sinc}\frac{t}{a^n},$

следовательно, функции ${\mathrm{h}}_a(x)$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов $M$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов ${\mathrm{h}}_{a,M}(x)$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

$\frac{2}{a^2}\mathrm{h}{\text{'}}_{a,M}(x)={\mathrm{h}}_{a,M-1}(ax+1)-{\mathrm{h}}_{a,M-1}(ax-1).$

Обобщённая теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций ${\mathrm{h}}_a(x)$ расположены регулярным образом в точках $a\pi n$ $(n\ne 0)$. В связи с этим любую непрерывную функцию $f(x)$ с финитным спектром $(\mathrm{supp}\hat{f}=[-\mathrm{\Omega },\mathrm{\Omega }])$ можно разложить в ряд

$f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k\mathrm{\Delta })\widehat{{\mathrm{h}}_a}[\frac{a\pi }{\mathrm{\Delta }}(x-k\mathrm{\Delta })],$

где $a>2,0<\mathrm{\Delta }\le \pi (a-2)/\mathrm{\Omega }(a-1)$Шаблон:Sfn.

Данная формула обобщает известную теорему КотельниковаШаблон:Sfn; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым, а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом.

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе 1971 года. Обстоятельства появления функции $\mathrm{up}(x)$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции.

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение». В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы.

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — С. 103—260.
• Шаблон:Книга