Многочлены Лежандра

Шаблон:Ортогональные многочлены 2 Шаблон:Нет сносок Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $[-1,1]$ в пространстве $L^2$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\{1,x,x^2,x^3,\dots \}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида Шаблон:EF где $z$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых $n$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени $n$ можно представить через формулу Родрига в видеШаблон:Sfn

$P_n(z)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{z}^n}(z^2-1{)}^n.$

Часто вместо $z$ записывают косинус полярного угла:

$P_n(\cos \theta )=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d(\cos \theta {)}^n}({\cos }^2\theta -1{)}^n.$

Уравнение (Шаблон:Eqref) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра Шаблон:EF где $\mu$, $\nu$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при $|z|<1$ (в частности, при действительных $z$) или когда действительная часть числа $z$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида $w=(z^2-1{)}^{\mu /2}$ в (Шаблон:Eqref) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области $|1-z|<2$ принимает вид

$w=P_{\nu }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left(\frac{z+1}{z-1}\right)}^{\mu /2}F(-\nu ,\nu +1;1-\mu ;\frac{1}{2}-\frac{z}{2}),$

где $F$ — гипергеометрическая функция. Подстановка $w=z^2$ в (Шаблон:Eqref) приводит к решению вида

$w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }{2}^{-\nu -1}\sqrt{\pi }\frac{\mathrm{\Gamma }(\nu +\mu +1)}{\mathrm{\Gamma }(\nu +3/2)}{z}^{-\nu -\mu -1}(z^2-1{)}^{\mu /2}F(\frac{\nu }{2}+\frac{\mu }{2}+1,\frac{\nu }{2}+\frac{\mu }{2}+\frac{1}{2};\nu +\frac{3}{2};z^{-2}),$

определённым на $|z|>1$. Функции $P_{\nu }^{\mu }(z)$ и $Q_{\nu }^{\mu }(z)$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.Шаблон:Sfn

Справедливы соотношенияШаблон:Sfn

$P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)$

и

$Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos (\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).$

Выражение через суммы

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n})x^{n-2k}.$

Рекуррентная формула

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при $n⩾1$)Шаблон:Sfn: Шаблон:EF причём первые две функции имеют вид

$P_0(x)=1,$

$P_1(x)=x.$

Производная полинома Лежандра

Вычисляется по формулеШаблон:Sfn Шаблон:EF

Корни полинома Лежандра

Вычисляются итеративно по методу НьютонаШаблон:Sfn:

$x_i^{(k+1)}=x_i^{(k)}-\frac{P_n(x_i^{(k)})}{P{\text{'}}_n(x_i^{(k)})},$

причём начальное приближение для $i$-го корня ($i=1,2,\dots ,n$) берётся по формулеШаблон:Sfn

$x_i^{(0)}=\cos \frac{\pi (4i-1)}{4n+2}.$

Значение полинома можно вычислять, используя Шаблон:Eqref для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя Шаблон:Eqref.

Формулы с разложениями

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

$(1-2tx+t^2{)}^{-\frac{1}{2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n$   для   $|t|<\min |x\pm \sqrt{x^2-1}|,$

$(1-2tx+t^2{)}^{-\frac{1}{2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)\frac{1}{t^{n+1}}$   для   $|t|>\max |x\pm \sqrt{x^2-1}|.$

Следовательно,

$P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}[x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}{x}^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}{x}^{n-4}-\dots ].$

Присоединённые многочлены Лежандра

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

$P_n^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_n(x),$

которую также можно представить в виде

$P_n^m(\cos \theta )={\sin }^m\theta \frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}{P}_n(\cos \theta ).$

При $m=0$ функция $P_n^m$ совпадает с $P_n$.

Нормировка по правилу Шмидта

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом:

$S{P}_n^0(x)=P_n^0(x),$

$S{P}_n^m(x)=(-1{)}^m{\left(\frac{2(n-m)!}{(n+m)!}\right)}^{1/2}{P}_n^m(x).$

Сдвинутые многочлены Лежандра

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как $\widetilde{P_n}(x)=P_n(2x-1)$, где сдвигающая функция $x\mapsto 2x-1$ (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов $[-1,1]$ на интервал $[0,1]$, в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены $\widetilde{P_n}(x)$:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\widetilde{P_m}(x)\widetilde{P_n}(x)dx=\frac{1}{2n+1}{\delta }_{mn}.$

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

$\widetilde{P_n}(x)=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})(-x{)}^k.$

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

$\widetilde{P_n}(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-x{)}^n].$

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	$\widetilde{P_n}(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^2-6x+1$
3	$20x^3-30x^2+12x-1$
4	$70x^4-140x^3+90x^2-20x+1$

Матрица функции многочлена Лежандра

$\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 0& -2& 0& 0& ⋮& 0& ⋮& 0\\ 0& 2& 0& -6& 0& ⋮& 0& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 6& 0& -12& ⋮& 0& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 12& 0& ⋮& 0& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 20& ⋮& 0& ⋮& ⋮\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \ddots & ⋮& \dots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 0& \dots & k(k+1)& \dots & ⋮\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 0& \dots & 0& \dots & n(n+1)\end{array}\right)$

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны $k(k+1)$, где $k\in \{0,1,2,3,\dots ,n\}$.

Примеры

Файл:Многочлены Лежандра.gif

Первые 6 многочленов Лежандра

Первые многочлены Лежандра в явном виде:

$P_0(x)=1,$

$P_1(x)=x,$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3),$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x),$

$P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5),$

$P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x),$

$P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35),$

$P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x),$

$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63),$

$P_{11}(x)=\frac{1}{256}(88179x^{11}-230945x^9+218790x^7-90090x^5+15015x^3-693x),$

$P_{12}(x)=\frac{1}{1024}(676039x^{12}-1939938x^{10}+2078505x^8-1021020x^6+225225x^4-18018x^2+231),$

$P_{13}(x)=\frac{1}{1024}(1300075x^{13}-4056234x^{11}+4849845x^9-2771340x^7+765765x^5-90090x^3+3003x),$

$P_{14}(x)=\frac{1}{2048}(5014575x^{14}-16900975x^{12}+22309287x^{10}-14549535x^8+4849845x^6-765765x^4+45045x^2-429),$

$P_{15}(x)=\frac{1}{2048}(9694845x^{15}-35102025x^{13}+50702925x^{11}-37182145x^9+14549535x^7-2909907x^5+255255x^3-6435x),$

$P_{16}(x)=\frac{1}{32768}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^{10}+669278610x^8-162954792x^6+19399380x^4-875160x^2+6435),$

$P_{17}(x)=\frac{1}{32768}(583401555x^{17}-2404321560x^{15}+4071834900x^{13}-3650610600x^{11}+1859107250x^9-535422888x^7+81477396x^5-5542680x^3+109395x).$

Поскольку $P_n(1)=1$, то

$P_n(x)=\frac{{\lambda }_0+{\lambda }_{1}x+{\lambda }_2{x}^2+\dots +{\lambda }_n{x}^n}{{\lambda }_0+{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}=\frac{\sum _{i=0}^n{\lambda }_i{x}^i}{\sum _{i=0}^n{\lambda }_i}.$

Свойства

• Если $n\ne 0$, то $\mathrm{\forall }x\in (-1,1)|P_n(x)|<1.$
• Для $n\ne 0$ степень $P_n$ равна $n$.
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра $P_n(x)$ равна 1.
• Уравнение $P_n(x)=0$ имеет ровно $n$ различных корней на отрезке $[-1,1].$
• Пусть $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{U}_n(x)=(x^2-1{)}^n$. Тогда

  $U{\text{'}}_{n+1}(x)-2(n+1)x{U}_n(x)=0,$

  $(x^2-1)U{\text{'}}_n(x)-2nx{U}_n(x)=0.$

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

  $\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_n(x)]-\frac{m^2}{(1-x^2)}{P}_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0.$

При $m=0$ уравнение принимает вид

$P{\text{'}}_{n+1}(x)=xP{\text{'}}_n(x)+(n+1)P_n(x).$

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна

  $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(z)x^n=\frac{1}{\sqrt{1-2xz+x^2}}.$

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке $[-1,1]$:

  $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_k(x)P_l(x)dx=\frac{2}{2k+1}{\delta }_{kl},$

где ${\delta }_{kl}$ — символ Кронекера.

• Для $n\in \mathbb{N}$ норма $P_n$ равна

  $\Vert P_n\Vert =\sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n^2(x)dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}.$

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой $P_n$ следующим соотношением:

  ${\tilde{P}}_n(x)=\frac{P_n(x)}{\Vert P_n\Vert }=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}{P}_n(x).$

• При каждом $m>0$ система присоединённых функций Лежандра $P_n^m(x),n=m,m+1,\dots$ полна в $L_2(-1,1)$.
• В зависимости от $m$ и $n$ присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

  $P_n^m(-x)=(-1{)}^{m+n}{P}_n^m(x).$

  $P_{2n}$ — чётная функция,

  $P_{2n+1}$ — нечётная функция.

• $P_n(1)=1.$
• $P_n(-1)=(-1{)}^n.$
• $P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4n-2k}{2n})0^{2n-2k}=\frac{1}{2^{2n}}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$, поскольку $\mathrm{\forall }k\ne n{0}^{2n-2k}=0$, а $0^{2n-2n}=1$.
• Для $n\ne 0$ выполняется $P_{2n}(0)⩽\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$.
• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}|P_n(x)|⩽\sqrt{\frac{2}{\pi n(1-x^2)}}.$

Ряды многочленов Лежандра

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция $f$ является функцией со свойством

$|f(x)-f(y)|⩽L|x-y|$, где $L>0$.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть $\epsilon (I)$ — пространство непрерывных отображений на отрезке $I=[-1,1]$, $f\in \epsilon (I)$, и $n\in \mathbb{N}$.

Пусть

$c_n(f)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x){\tilde{P}}_n(x)dx,$

тогда $c_n(f)$ удовлетворяет следующему условию:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n(f)=0.$

Пусть $S_{n}f=\sum _{k=0}^n{c}_k(f){\tilde{P}}_k$ и $S_{n}f$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $\mathrm{\forall }x\in I{S}_{n}f(x)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{K}_n(x,y)f(y)dy$, где $K_n(x,y)=\frac{n+1}{2}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_{n+1}(y)P_n(x)}{x-y};$
2. $S_{n}f(x)-f(x)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{K}_n(x,y)(f(y)-f(x))dy;$
3. $\mathrm{\forall }x\in [-1,1]\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{n}f(x)=f(x).$

Липшицеву функцию $f$ можно записать следующим образом:

$f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(f){\tilde{P}}_n.$

Разложение голоморфной функции

Всякая функция $f$, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_n{P}_n(x).$

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям $0⩽{\psi }_1<\pi$, $0⩽{\psi }_2<\pi$, ${\psi }_1+{\psi }_2<\pi$, $\phi$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:Шаблон:Sfn

$P_k(\cos {\psi }_1\cos {\psi }_2+\sin {\psi }_1\sin {\psi }_2\cos \phi )=P_k(\cos {\psi }_1)P_k(\cos {\psi }_2)+2\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{P}_k^{-m}(\cos {\psi }_1)P_k^m(\cos {\psi }_2)\cos m\phi ,$

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

$P_k(\cos {\psi }_1\cos {\psi }_2+\sin {\psi }_1\sin {\psi }_2\cos \phi )=P_k(\cos {\psi }_1)P_k(\cos {\psi }_2)+2\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(k-m+1)}{\mathrm{\Gamma }(k+m+1)}{P}_k^m(\cos {\psi }_1)P_k^m(\cos {\psi }_2)\cos m\phi .$

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит какШаблон:Sfn

$Q_k(\cos {\psi }_1\cos {\psi }_2+\sin {\psi }_1\sin {\psi }_2\cos \phi )=P_k(\cos {\psi }_1)Q_k(\cos {\psi }_2)+2\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{P}_k^{-m}(\cos {\psi }_1)Q_k^m(\cos {\psi }_2)\cos m\phi$

при условиях $0⩽{\psi }_1<\pi /2$, $0⩽{\psi }_2<\pi$, ${\psi }_1+{\psi }_2<\pi$, $\phi$.

Функции Лежандра

Шаблон:Main Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра $P_{n,m}(x)$) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах $r,\theta ,\phi$) вида (с точностью до константы)

$r^n{P}_n^m(\cos \theta )\cos m\phi$ и $r^n{P}_n^m(\cos \theta )\sin m\phi ,$

где $P_n^m$ — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде $r^n{Y}_{nm}$, где $Y_{nm}$ — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в ${ℝ}^3$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Legendre Polynomials — University of Rochester, 2010.