Ортогональные многочлены

Пафнутий Львович Чебышёв

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

$p_0(x),p_1(x),p_2(x),\dots$,

где каждый многочлен $p_n(x)$ имеет степень $n$, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве $L^2$.

Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах П. Л. Чебышёва по непрерывным дробям и позднее развито А. А. Марковым и Т. И. Стилтьесом и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

Определение

Ортогональность с весом

Пусть $(a,b)$ — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

$w:(a,b)\to ℝ$

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка $(a,b)$ функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция $w(x)$ связана с пространством функций $L_2$, для которых сходится интеграл

${\int }_a^b{[f(x)]}^{2}w(x)dx<\mathrm{\infty }$.

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)w(x)dx$ для вещественных функций,

$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)\overline{g(x)}w(x)dx$ для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю $⟨f,g⟩=0$, то такие функции называются ортогональными с весом $w(x)$. Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

Классическая формулировка

Систему многочленов

$p_0(x),p_1(x),\cdots ,p_n(x),\cdots$

называют ортогональной, если

1. $p_n(x)$ — многочлен степени $n$,
2. $⟨p_m,p_n⟩={\delta }_{mn}{h}_n$, где ${\delta }_{mn}$ — символ Кронекера, $h_n$ — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму $||p_n||=h_n=1$. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения $h_n$ отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов

Рекуррентные соотношения

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

$p_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_n)p_n(x)-C_n{p}_{n-1}(x),$

где

$A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},B_n=A_n(r_{n+1}-r_n),C_n=\frac{A_n{h}_n}{A_{n-1}{h}_{n-1}},$

$r_n=\frac{k{\text{'}}_n}{k_n},h_n=⟨p_n(x),p_n(x)⟩$,

$k_n$ и $k{\text{'}}_n$ — коэффициенты при членах $x^n$ и $x^{n-1}$ в полиноме $p_n(x).$

Эта формула остаётся справедливой и для $n=0$, если положить $p_{-1}(x)=0$.

Формула Кристоффеля-Дарбу

$\sum _{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}{h}_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y}$,

или при $y\to x$

$\sum _{k=0}^n{h}_k^{-1}{[p_k(x)]}^2=\frac{k_n}{k_{n+1}{h}_n}[p{\text{'}}_{n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p{\text{'}}_n(x)]$

Корни многочленов

Все корни многочлена $p_n(x)$ являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности $[a;b]$. Шаблон:Hider

Между двумя последовательными корнями многочлена $p_n(x)$ расположен в точности один корень многочлена $p_{n+1}(x)$ и, по крайней мере, один корень многочлена $p_m(x)$, при $m>n$.

Минимальность нормы

Каждый многочлен $p_n(x)$ в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов $P_n(x)$ такой же степени и с таким же первым коэффициентом.

Полнота системы

Система ортогональных многочленов $p_i(x)$ является полной. Это значит, что любой многочлен $S(x)$ степени n может быть представлен в виде ряда

$S(x)=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{p}_i(x)$,

где $\alpha$ коэффициенты разложения.

Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленам

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

$Q(x)f^{″}+L(x)f^{\prime }+\lambda f=0,$

где $Q(x)$ и $L(x)$ заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а $f(x)$ и $\lambda$ неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

$(R(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+W(x)\lambda y=0,$

где $R(x)=e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}dx},W(x)=\frac{R(x)}{Q(x)}.$ Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел ${\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$ и множеству собственных функций $P_0,P_1,P_2,\dots$, обладающих следующими свойствами:

• $P_n(x)$ — полином степени n, зависящий от ${\lambda }_n$

• последовательность $P_0,P_1,P_2,\dots$ ортогональна с весовой функцией $W(x)$

• Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности

• Числа ${\lambda }_n$ и полиномы $P_n(x)$ могут быть получены из формул

${\lambda }_n=-n(\frac{n-1}{2}{Q}^{″}+L^{\prime })$

$P_n(x)=\frac{1}{e_{n}W(x)}\frac{d^n}{d{x}^n}(W(x)[Q(x){]}^n)$ формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены

Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к $Q(x)=1-x^2$ с интервалом ортогональности $[-1,1]$. Решениями являются многочлены Якоби $P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)$ или их частные случаи многочлены Гегенбауэра $C_n^{(\alpha )}(x)$, Лежандра $P_n(x)$ или Чебышёва обоих типов $T_n(x)$, $U_n(x)$.

2. Лагерроподобные многочлены

Q и L — многочлены первого порядка. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к $Q(x)=x$ и интервалу ортогональности $[0,\mathrm{\infty })$. Решениями являются обобщённые многочлены Лагерра $L_n^{(\alpha )}(x)$ или их частному случаю многочленам Лагерра $L_n(x)$.

3. Эрмитоподобные многочлены

Q — ненулевая константа, L — многочлен первого порядка. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к $Q(x)=1$ и интервалу ортогональности $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$. Решениями являются многочлены Эрмита $H_n(x)$.

Производные ортогональных полиномов

Обозначим $P_n^m(x)$ как m-ую производную полинома $P_n(x)$. Производная $P_n^m(x)$ является полиномом степени $n-m$ и обладает следующими свойствами:

• ортогональность

Для заданного m последовательность полиномов $P_m^m,P_{m+1}^m,P_{m+2}^m,\dots$ ортогональна с весовой функцией $W(x)[Q(x){]}^m$

• формула Родрига

$P_n^m=\frac{1}{e_{n}W(x)[Q(x){]}^m}\frac{d^{n-m}}{d{x}^{n-m}}(W(x)[Q(x){]}^m)$

• дифференциальное уравнение

$Q(x)y^{″}+(m{Q}^{\prime }(x)+L(x))y^{\prime }+[{\lambda }_n-{\lambda }_m]y=0$, где $y(x)=P_n^m(x)$

• дифференциальное уравнение второго вида

$(R(x)[Q(x){]}^m{y}^{\prime }{)}^{\prime }+[{\lambda }_n-{\lambda }_m]W(x)[Q(x){]}^{m}y=0$, где $y(x)=P_n^m(x)$

• рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)

$P_n^m(x)=a{P}_{n+1}^{m+1}(x)+b{P}_n^{m+1}(x)+c{P}_{n-1}^{m+1}(x),$

$P_n^m(x)=(ax+b)P_n^{m+1}(x)+c{P}_{n-1}^{m+1}(x),$

$Q(x)P_n^{m+1}(x)=(ax+b)P_n^m(x)+c{P}_{n-1}^m(x).$

Классические ортогональные многочлены

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены Якоби

Многочлены Якоби обозначаются $P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)$, где параметры $\alpha$ и $\beta$ вещественные числа больше −1. Если $\alpha$ и $\beta$ не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки $x=0$.

• Весовая функция $W(x)=(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$ на промежутке ортогональности $[-1,1]$

• Дифференциальные уравнения

$(1-x^2)y^{″}+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]x)y^{\prime }+\lambda y=0$

• Собственные числа

${\lambda }_n=n(n+1+\alpha +\beta )$

• Рекуррентная формула

$P_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_n)P_n(x)-C_n{P}_{n-1}(x),$

где

$A_n=\frac{(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha +\beta )},$

$B_n=\frac{({\alpha }^2-{\beta }^2)(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1)(2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )},$

$C_n=\frac{(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}$

• Нормировка

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1+\alpha )}{n!\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )},h_n=\frac{2^{\alpha +\beta +1}\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{n!(2n+\alpha +\beta +1)\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)},k_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+1+\alpha +\beta )}{n!2^n\mathrm{\Gamma }(n+1+\alpha +\beta )},e_n=(-2{)}^{n}n!$

Многочлены Гегенбауэра

Многочлены Гегенбауэра обозначаются $C_n^{(\alpha )}(x)$, где параметр $\alpha$ вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров $\alpha$ и $\beta$

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +n)\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1/2)}{P}_n^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}.$

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром $\alpha$ и соответствующей нормализацией.

• Весовая функция $W(x)=(1-x^2{)}^{\alpha -1/2}$ на промежутке ортогональности $[-1,1]$

• Дифференциальные уравнения

$(1-x^2)y^{″}-(2\alpha +1)x{y}^{\prime }+\lambda y=0$

• Собственные числа

${\lambda }_n=n(n+2\alpha )$

• Рекуррентная формула

$(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x{C}_n^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x)$

• Нормировка

$C_n^{(\alpha )}(1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!\mathrm{\Gamma }(2\alpha )}$ если $\alpha \ne 0,$ $h_n=\frac{\pi 2^{1-2\alpha }\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )(\mathrm{\Gamma }(\alpha ){)}^2},k_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+2\alpha )\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+\alpha )}{n!2^n\mathrm{\Gamma }(2\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2}+\alpha )},e_n=\frac{(-2{)}^{n}n!\mathrm{\Gamma }(2\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2}+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}$

• Прочие свойства

$C_n^{(\alpha +1)}(x)=\frac{1}{2\alpha }\frac{d}{dx}{C}_{n+1}^{(\alpha )}(x)$

Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра обозначаются $P_n(x)$ и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром $\alpha =1/2$

$P_n(x)=C_n^{(1/2)}(x).$

• Весовая функция $W(x)=1$ на промежутке ортогональности $[-1,1]$

• Дифференциальные уравнения

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+\lambda y=0,([1-x^2]y^{\prime }{)}^{\prime }+\lambda y=0$

• Собственные числа

${\lambda }_n=n(n+1)$

• Рекуррентная формула

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$

• Нормировка

$P_n(1)=1,h_n=\frac{2}{2n+1},k_n=\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2},e_n=(-2{)}^{n}n!$

• Первые несколько многочленов

$P_0(x)=1;$

$P_1(x)=x;$

$P_2(x)=(3x^2-1)/2;$

$P_3(x)=(5x^3-3x)/2;$

$P_4(x)=(35x^4-30x^2+3)/8;$

Многочлены Чебышёва

Многочлен Чебышёва $T_n(x)$ часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени $n$, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале $[-1,1]$

$T_n(x)=\cos (narccos(x)).$

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра $\alpha \to 0$

$T_n(x)=\underset{\alpha \to 0}{lim}n\mathrm{\Gamma }(\alpha )C_n^{(\alpha )}.$

• Весовая функция $W(x)=(1-x^2{)}^{-1/2}$ на промежутке ортогональности $[-1,1]$

• Дифференциальное уравнение

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+\lambda y=0$

• Собственные числа

${\lambda }_n=n^2$

• Рекуррентная формула

$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)$

• Нормировка

$T_n(1)=1,h_n=\{\begin{array}{cc}\pi & :n=0\\ \pi /2& :n\ne 0\end{array},k_n=2^{n-1},e_n=(-2{)}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1/2)}{\sqrt{\pi }}$

Многочлен Чебышёва второго рода $U_n(x)$ характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале $[-1,+1]$ меньше всего отклоняется от нуля

$U_n=\frac{1}{n+1}{T}_{n^{\prime }+1}$

• Весовая функция $W(x)=(1-x^2{)}^{1/2}$ на промежутке ортогональности $[-1,1]$
• Дифференциальное уравнение

$(1-x^2)y^{″}-3x{y}^{\prime }+\lambda y=0$

• Нормировка

$U_n(1)=n+1,h_n=\pi /2,k_n=2^n,e_n=2(-2{)}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(n+3/2)}{(n+1)\sqrt{\pi }}$

Многочлены Лагерра

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются $L_n^{(\alpha )}(x)$, где параметр $\alpha$ вещественное число больше -1. Для $\alpha =0$ обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра

$L_n(x)=L_n^{(0)}(x).$

• Весовая функция $W(x)=x^{\alpha }{e}^{-x}$ на промежутке ортогональности $[0,\mathrm{\infty })$

• Дифференциальные уравнения

$x{y}^{″}+(\alpha +1-x)y^{\prime }+\lambda y=0(x^{\alpha +1}{e}^{-x}{y}^{\prime }{)}^{\prime }+\lambda x^{\alpha }{e}^{-x}y=0$

• Собственные числа

${\lambda }_n=n$

• Рекуррентная формула

$(n+1)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)L_n^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)$

• Нормировка

$k_n=\frac{(-1{)}^n}{n!},h_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!},e_n=n!$

• Прочие свойства

$L_n^{(\alpha +1)}(x)=-\frac{d}{dx}{L}_{n+1}^{(\alpha )}(x)$

Многочлены Эрмита

• Весовая функция $W(x)=e^{-x^2}$ на промежутке ортогональности $[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$

• Дифференциальные уравнения

$y^{″}-2x{y}^{\prime }+\lambda y=0(e^{-x^2}{y}^{\prime }{)}^{\prime }+e^{-x^2}\lambda y=0$

• Собственные числа

${\lambda }_n=2n$

• Рекуррентная формула

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)$

• Нормировка

$k_n=2^n,h_n=2^{n}n!\sqrt{\pi },e_n=(-1{)}^n$

• Первые несколько многочленов

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=4x^2-2$

$H_3(x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12$

Построение ортогональных многочленов

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Система ортогональных многочленов $f_1,f_2,\dots ,f_k$ может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов $g_k(x)=x^k$ следующим образом. Определим проектор как

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_f(g)=\frac{⟨f,g⟩}{⟨f,f⟩}f=\frac{{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)g(x)W(x)dx}{{\int }_{x_1}^{x_2}(f(x){)}^{2}W(x)dx}f(x)$,

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме

$\begin{array}{cc}{f}_1& =g_1,\\ f_2& =g_2-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{f_1}(g_2),\\ f_3& =g_3-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{f_1}(g_3)-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{f_2}(g_3),\\ & ⋮\\ f_k& =g_k-\sum _{j=1}^{k-1}{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{f_j}(g_k).\end{array}$

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функции

Весовая функция $w(x)$, заданная на промежутке $[a;b]$, однозначно определяет систему ортогональных многочленов $\{p_n(x){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

${\mu }_n={\int }_a^{b}w(x)x^{n}dx$

моменты весовой функции, тогда многочлен $p_n(x)$ может быть представлен в виде:

$p_n(x)=det\left[\begin{array}{ccccc}{\mu }_0& {\mu }_1& {\mu }_2& \cdots & {\mu }_n\\ {\mu }_1& {\mu }_2& {\mu }_3& \cdots & {\mu }_{n+1}\\ {\mu }_2& {\mu }_3& {\mu }_4& \cdots & {\mu }_{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mu }_{n-1}& {\mu }_n& {\mu }_{n+1}& \cdots & {\mu }_{2n-1}\\ 1& x& x^2& \cdots & x^n\end{array}\right]$.

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум $O(n^3)$ операций.

По рекуррентным формулам

Если выбрать нормировку многочлена $p_n(x)$ таким образом, что коэффициент $k_n$ при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

$p_{n+1}(x)=(x-{\alpha }_n)p_n(x)-{\gamma }_n{p}_{n-1}(x),$

где

${\alpha }_n=\frac{⟨x{p}_n,p_n⟩}{⟨p_n,p_n⟩},{\gamma }_n=\frac{⟨x{p}_n,p_{n-1}⟩}{⟨p_{n-1},p_{n-1}⟩}$.

Применение ортогональных многочленов

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i),$

где $x_i$ и $w_i$ являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов $f(x)$ до степени $2n-1$ включительно. При этом узлы $x_i$ есть корни n-го полинома из последовательности полиномов $p_0(x),p_1(x),\mathrm{...}$, ортогональных с весовой функцией $w(x)$. Веса $w_i$ вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого $T_n(x)$ и второго $U_n(x)$ типа часто используется для аппроксимации функций.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Для дальнейшего чтения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга