Многочлены Якоби

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Ортогональные многочлены 2 Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные^[1]:

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{(α + 1)_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 1 + α + β + n; α + 1; \frac{1 - z}{2}),

где $(α + 1)_{n}$ является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{z - 1}{2})}^{m},

Откуда одно из конечных значений следующее

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n}) .

Для целых $n$

(\binom{z}{n}) = \frac{Γ (z + 1)}{Γ (n + 1) Γ (z - n + 1)},

где $Γ (z)$ — обычная гамма-функция, и

(\binom{z}{n}) = 0 для n < 0 .

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

\int_{- 1}^{1} (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m},

для $α > - 1$ и $β > - 1$ .

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

P_{n}^{(α, β)} (- z) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (z);

а потому ещё одно значение полиномов:

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n}) .

Для действительного $x$ полином Якоби может быть записан следующим образом.

P_{n}^{(α, β)} (x) = \sum_{s} (\binom{n + α}{s}) (\binom{n + β}{n - s}) {(\frac{x - 1}{2})}^{n - s} {(\frac{x + 1}{2})}^{s},

где $s ⩾ 0$ и $n - s ⩾ 0$ .

В особом случае, когда $n$ , $n + α$ , $n + β$ и $n + α + β$ — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

P_{n}^{(α, β)} (x) = (n + α)! (n + β)! \sum_{s} {[s! (n + α - s)! (β + s)! (n - s)!]}^{- 1} {(\frac{x - 1}{2})}^{n - s} {(\frac{x + 1}{2})}^{s} .

Сумма берется по всем целым значениям $s$ , для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера $d_{m^{'} m}^{j} (φ)$ ( $0 ⩽ φ ⩽ 4 π$ ) в терминах полиномов Якоби

d_{m^{'} m}^{j} (φ) = ξ_{m^{'} m} {[\frac{(s)! (s + μ + ν)!}{(s + μ)! (s + ν)!}]}^{1 / 2} {(\sin \frac{φ}{2})}^{μ} {(\cos \frac{φ}{2})}^{ν} P_{s}^{(μ, ν)} (\cos φ)

,^[2]

где

μ = | m - m^{'} |, ν = | m + m^{'} |, s = j - \frac{1}{2} (μ + ν)

Величина $ξ_{m^{'} m}$ определяется формулой

$ξ_{m^{'} m} = {\begin{matrix} 1, & if m \geq m^{'} \\ (- 1)^{m^{'} - m}, & if m < m^{'} \end{matrix}$

$k$ -я производная явного выражения приводит к

\frac{d^{k}}{d z^{k}} P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + β + n + 1 + k)}{2^{k} Γ (α + β + n + 1)} P_{n - k}^{(α + k, β + k)} (z) .

↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22» Шаблон:Wayback, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0, MR0167642
↑ Шаблон:Книга