D-матрица Вигнера

$D$-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение $D$-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.

Определение D-матрицы Вигнера

Пусть $J_x$, $J_y$, $J_z$ образующие алгебры Ли $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ и $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$. В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям

$[J_x,J_y]=i{J}_z,[J_z,J_x]=i{J}_y,[J_y,J_z]=i{J}_x,$

где $i$ это чисто мнимое число и постоянная Планка $\hslash$ был задана равной единице. Оператор

$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$

является оператором Казимира из $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ (или $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$, в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с $J_z$ (Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с $J^2$. То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с

$J^2|jm⟩=j(j+1)|jm⟩,J_z|jm⟩=m|jm⟩,$

где $j=0,1/2,1,3/2,2,\dots$ и $m=-j,-j+1,\dots ,j$. Для $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ квантовое число $j$ является целым.

Оператор поворота можно записать в виде

$ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\gamma J_z}{e}^{-i\beta J_y}{e}^{-i\alpha J_z},$

где $\alpha ,\beta ,\gamma$ — углы Эйлера.

$D$-матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности $2j+1$ с общим элементом

$D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv ⟨j{m}^{\prime }|ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm⟩=e^{-i{m}^{\prime }\gamma }{d}_{m^{\prime }m}^j(\beta )e^{-im\alpha }.$

Матрица с общим элементом

$d_{m^{\prime }m}^j(\beta )=⟨j{m}^{\prime }|e^{-i\beta J_y}|jm⟩$

известна как малая $d$-матрица Вигнера.

Список элементов d-матрицы

для $j=1/2$

• $d_{1/2,1/2}^{1/2}=\cos (\theta /2)$
• $d_{1/2,-1/2}^{1/2}=-\sin (\theta /2)$

для $j=1$

• $d_{1,1}^1=\frac{1+\cos \theta }{2}$
• $d_{1,0}^1=\frac{-\sin \theta }{\sqrt{2}}$
• $d_{1,-1}^1=\frac{1-\cos \theta }{2}$
• $d_{0,0}^1=\cos \theta$

для $j=3/2$

• $d_{3/2,3/2}^{3/2}=\frac{1+\cos \theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,1/2}^{3/2}=-\sqrt{3}\frac{1+\cos \theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,-1/2}^{3/2}=\sqrt{3}\frac{1-\cos \theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,-3/2}^{3/2}=-\frac{1-\cos \theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$
• $d_{1/2,1/2}^{3/2}=\frac{3\cos \theta -1}{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{1/2,-1/2}^{3/2}=-\frac{3\cos \theta +1}{2}\sin \frac{\theta }{2}$

для $j=2$

• $d_{2,2}^2=\frac{1}{4}{(1+\cos \theta )}^2$
• $d_{2,1}^2=-\frac{1}{2}\sin \theta (1+\cos \theta )$
• $d_{2,0}^2=\sqrt{\frac{3}{8}}{\sin }^2\theta$
• $d_{2,-1}^2=-\frac{1}{2}\sin \theta (1-\cos \theta )$
• $d_{2,-2}^2=\frac{1}{4}{(1-\cos \theta )}^2$
• $d_{1,1}^2=\frac{1}{2}(2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1)$
• $d_{1,0}^2=-\sqrt{\frac{3}{8}}\sin 2\theta$
• $d_{1,-1}^2=\frac{1}{2}(-2{\cos }^2\theta +\cos \theta +1)$
• $d_{0,0}^2=\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)$

Элементы $d$-матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:

$d_{m^{\prime },m}^j=(-1{)}^{m-m^{\prime }}{d}_{m,m^{\prime }}^j=d_{-m,-m^{\prime }}^j$.

См. также

• Коэффициенты Клебша — Гордана