Коэффициенты Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса $J_{1}$ и $J_{2}$ , которые обладают квантовыми числами $j_{1}$ и $m_{1}$ ( $z$ -компонента) и $j_{2}$ и $m_{2}$ . При этом $m_{1}$ и $m_{2}$ принимают значения $m_{1} = [- j_{1}, \dots, j_{1}]$ и $m_{2} = [- j_{2}, \dots, j_{2}]$ соответственно. Моменты импульса коммутируют $[J_{1}, J_{2}] = 0$ , что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): $| j_{1}, m_{1} ⟩$ или $| j_{2}, m_{2} ⟩$ . В базисе $| j_{1}, m_{1} ⟩$ момент $J_{1}$ принимает простой диагональный вид, аналогично $J_{2}$ в базисе $| j_{2}, m_{2} ⟩$ .

При взаимодействии, оба момента импульса $J_{1}$ и $J_{2}$ складываются в общий момент $\vec{J} = \vec{J_{1}} + \vec{J_{2}}$ , который обладает квантовыми числами $J$ и $M$ , принимающими следующие значения

| j_{1} - j_{2} | ⩽ J ⩽ | j_{1} + j_{2} |

и

M = [- J, \dots, J]

(с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса $J_{1}$ и $J_{2}$ , то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩ = | j_{1}, m_{1} ⟩ \otimes | j_{2}, m_{2} ⟩ .

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса $\vec{J}$ и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Собственные векторы момента $\vec{J}$ однозначно определяются квантовыми числами $J$ , $M$ , $j_{1}$ и $j_{2}$ . В базисе этих векторов суммарный момент $J$ принимает простую диагональную форму. А именно

\vec{J}^{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ = J (J + 1) ℏ^{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩;

J_{z} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ = M ℏ | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ .

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ в базис собственных векторов $| J, M, j_{1}, j_{2} ⟩$ .

| J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ = \sum_{m_{1}, m_{2}} | j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩ ⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ .

Здесь $⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩$ являются коэффициентами Клебша — Гордана. Для простоты записи обычно из обозначают просто как $C_{j_{1}, m_{1}, j_{2}, m_{2}}^{J, M}$ .^[1]

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий $| j_{1} - j_{2} | ⩽ J ⩽ j_{1} + j_{2}$ и $M = m_{1} + m_{2}$ :

⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ \neq 0 \Rightarrow | j_{1} - j_{2} | ⩽ J ⩽ j_{1} + j_{2} \land M = m_{1} + m_{2} .

Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:

⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ \in ℝ .

Коэффициент Клебша — Гордана при $M = J$ задают положительным:

⟨ j_{1}, j_{1}; j_{2}, J - j_{1} | J, J, j_{1}, j_{2} ⟩ > 0 .

Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при $M = - M$ :

⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ = (- 1)^{j_{1} + j_{2} - J} ⟨ j_{1}, - m_{1}; j_{2}, - m_{2} | J, - M, j_{1}, j_{2} ⟩ .

Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

\sum_{m_{1}, m_{2}} ⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ ⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J^{'}, M^{'}, j_{1}, j_{2} ⟩ = δ_{J J^{'}} δ_{M M^{'}} .

Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

\sum_{J, M} ⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ ⟨ j_{1}, m'_{1}; j_{2}, m'_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ = δ_{m_{1} m'_{1}} δ_{m_{2} m'_{2}} .

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

Собственное состояние с $J = j_{1} + j_{2}$ и $M = J$ непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

| j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2}, j_{1}, j_{2} ⟩ = | j_{1}, j_{1}; j_{2}, j_{2} ⟩ .

Применением оператора уменьшения $J_{-} = J_{1 -} + J_{2 -}$ можно получить состояния от $| j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2} - 1, j_{1}, j_{2} ⟩$ до $| j_{1} + j_{2}, - j_{1} - j_{2}, j_{1}, j_{2} ⟩$ , или же все состояния с $J = j_{1} + j_{2}$ и $M = - J, \dots, J = - j_{1} - j_{2}, \dots, j_{1} + j_{2}$ .

Состояние $| j_{1} + j_{2} - 1, j_{1} + j_{2} - 1, j_{1}, j_{2} ⟩$ можно получить из условия ортогональности к состоянию $| j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2} - 1, j_{1}, j_{2} ⟩$ и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при $M = J$ является положительным.

Применением оператора уменьшения к $J = j_{1} + j_{2} - 1$ можно опять получить все состояния с $M = - j_{1} - j_{2} + 1, \dots, j_{1} + j_{2} - 1$ . Итеративно можно применять эту процедуру для всех $J$ до $J = | j_{1} - j_{2} |$ .

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

⟨ j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} | J, M, j_{1}, j_{2} ⟩ = \sqrt{2 j + 1} \sqrt{Δ_{j_{1} j_{2} j}} \sqrt{\frac{(j_{1} + m_{1})! (j - m)!}{(j_{1} - m_{1})! (j_{2} + m_{2})! (j_{2} - m_{2})! (j + m)!}} \times

\times \sum_{s = \max (m_{1} + m_{2}, j_{1} - j_{2})}^{j} \frac{(- 1)^{j_{1} + m_{2} - s} (j + s)! (j_{2} + s - m_{1})!}{(j - s)! (s - m_{1} - m_{2})! (s - j_{1} + j_{2})! (j_{1} + j_{2} + s + 1)!},

где

Δ_{j_{1} j_{2} j} = \frac{(j_{1} + j_{2} - j)! (j_{2} + j - j_{1})! (j + j_{1} + j_{2} + 1)!}{(j_{1} - j_{2} + j)!} .

Если $j_{1} - j_{2}$ — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям $s$ , а если $j_{1} - j_{2}$ — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям $s$ .

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)

Рассмотрим группу $G$ и её представление. Выберем базисные вектора $ψ_{μ}^{(α)}$ и $ψ_{ν}^{(β)}$ неприводимых представлений $D^{(α)}$ и $D^{(β)}$ этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность $f_{k}$ операторов ${{\hat{F}}_{χ}^{(k)}}_{1}^{f_{k}}$ , если в результате преобразований $g$ , образующих группу $G$ , компоненты тензора ${\hat{F}}_{χ}^{(k)}$ преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям $D^{(k)}$ этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

{\tilde{\hat{F}}}_{χ}^{(k)} = \sum_{χ^{'}} D_{χ^{'} χ}^{(k)} (g) {\hat{F}}_{χ^{'}}^{(k)} .

Векторы $| {\hat{F}}_{χ}^{(k)} ψ_{ν}^{(β)} ⟩$ , где $χ = 1, 2, \dots, f_{k}; ν = 1, 2, \dots, f_{β}$ образуют базис представления $D^{(k)} \times D^{(β)}$ . Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений $D^{(γ)}$ , на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы $G$ $⟨ k χ, β ν | γ ρ ⟩$ .

| {\hat{F}}_{χ}^{(k)} ψ_{ν}^{(β)} ⟩ = \sum_{γ ρ} ⟨ k χ, β ν | γ ρ ⟩ {{\hat{F}}^{(k)} ψ^{(β)}}_{ρ}^{γ} .

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений ${\hat{D}}^{(γ)}$ в линейную комбинацию прямого произведения представлений ${\hat{D}}^{(α)} \times {\hat{D}}^{(β)}$ .

{V^{(α)} V^{(β)}}_{ρ}^{γ} = \sum_{μ, ν} ⟨ α μ, β ν | γ ρ ⟩ V_{μ}^{(α)} V_{ν}^{(β)},

где $V_{μ}^{(α)}, V_{ν}^{(β)}$ — базисные векторы представлений ${\hat{D}}^{(α)}, {\hat{D}}^{(β)}$ , а ${V^{(α)} V^{(β)}}_{ρ}^{γ}$ — базисные векторы представления ${\hat{D}}^{(γ)}$ : ${\hat{D}}^{(α)} \times {\hat{D}}^{(β)} = \sum_{γ}^{\oplus} a^{(γ)} {\hat{D}}^{(γ)}$ .

Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует: $V_{μ}^{(α)} V_{ν}^{(β)} = \sum_{γ ρ} ⟨ α μ, β ν | γ ρ ⟩ {V^{(α)} V^{(β)}}_{ρ}^{γ}$ .
Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Таблица с примерами для некоторых значений $j_{1}$ и $j_{2}$ (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

Литература

Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — Наука, 1976. — 664 с.

↑ Шаблон:Cite web

[1] Шаблон:Cite web

[1]

Коэффициенты Клебша — Гордана

Содержание

Взаимодействие моментов импульса

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)

См. также

Примечания

Ссылки

Литература

Навигация

Коэффициенты Клебша — Гордана

Взаимодействие моментов импульса

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)

См. также

Примечания

Ссылки

Литература

Навигация

Поиск