Теорема Вигнера — Эккарта

Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент Шаблон:Iw в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так:

$⟨jm|T_q^k|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩=⟨j||T^k||j^{\prime }⟩C_{kq{j}^{\prime }{m}^{\prime }}^{jm},$

где $T_q^k$ — Шаблон:Iw ранга $k$, $|jm⟩$ и $|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩$ суть собственные функции полного углового момента $J^2$ и его z-компоненты $J_z$, $⟨j||T^k||j^{\prime }⟩$ не зависит от $m$ и $q$, и $C_{kq{j}^{\prime }{m}^{\prime }}^{jm}=⟨j^{\prime }{m}^{\prime };kq|jm⟩$ — коэффициенты Клебша — Гордана сложения $j^{\prime }$ и $k$ для получения $j$.

Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга $k$ на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом $k$ к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов.

Пример

Рассмотрим среднее значение координаты $⟨njm|x|njm⟩$. Этот матричный элемент является средним значением оператора координаты в сферически-симметричном базисе собственных состояний атома водорода. Отыскание этих матричных элементов является нетривиальной задачей. Однако, использование теоремы Вигнера — Эккарта упрощает эту задачу. (В действительности возможно получить решение сразу же, используя чётность.)

Известно, что $x$ — одна из компонент вектора $\overrightarrow{r}$. Векторы являются тензорами первого ранга, таким образом $x$ является некоторой линейной комбинацией $T_q^1$, где $q=-1,0,1$. Можно показать, что $x=\frac{T_{-1}^1-T_1^1}{\sqrt{2}}$, где сферические тензоры определены таким образом: $T_0^1=z$ и $T_{\pm 1}^1=\mp (x\pm iy)/\sqrt{2}$ (знаки должны быть выбраны согласно определению сферического тензора ранга $k$. Следовательно, $T_q^1$ пропорциональны только лестничным операторам). Поэтому

$⟨njm|x|n^{\prime }{j}^{\prime }{m}^{\prime }⟩=⟨njm\left|\frac{T_{-1}^1-T_1^1}{\sqrt{2}}\right|n^{\prime }{j}^{\prime }{m}^{\prime }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}⟨nj||T^1||n^{\prime }{j}^{\prime }⟩(C_{1(-1)j^{\prime }{m}^{\prime }}^{jm}-C_{11j^{\prime }{m}^{\prime }}^{jm}).$

Выражения выше дают нам матричные элементы для $x$ в базисе $|njm⟩$. Чтобы найти среднее значение, положим $n^{\prime }=n$, $j^{\prime }=j$, и $m^{\prime }=m$. Правила отбора для $m^{\prime }$ и $m$ таковы: $m\pm 1=m^{\prime }$ для сферических тензоров $T_{\mp 1}^{(1)}$. Как только $m^{\prime }=m$, коэффициенты Клебша — Гордана обращаются в нуль, что ведет к равенству нулю средних значений.

Ссылки

• J. J. Sakurai, (1994). «Modern Quantum Mechanics», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
• Шаблон:Mathworld
• Wigner–Eckart theoremШаблон:Ref-en
• Tensor OperatorsШаблон:Ref-en