3j-символ

Шаблон:Нет сносок 3j-символ Вигнера, называемый также 3jm-символом, — вещественная функция шести переменных (как правило, целых или полуцелых чисел). Находят применение в квантовой механике для сложения угловых моментов и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \equiv \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} (- m_{3}) j_{1} j_{2} ⟩ .

3j-символы являются коэффициентами, с которыми состояние $| 0 0 ⟩$ раскладывается в виде трилинейной формы трёх угловых моментов:

\sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} \sum_{m_{3} = - j_{3}}^{j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ | j_{3} m_{3} ⟩ = | 0 0 ⟩ .

Обратная связь

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что Шаблон:Math является целым числом, и делая подстановку $m_{3} \to - m_{3}$ , получим:

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} j_{1} j_{2} ⟩ = (- 1)^{j_{1} - j_{2} + m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) .

Симметрия

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}) .

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{matrix}) .

Замена знака квантовых чисел $m$ также даёт дополнительную фазу:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) .

Правила отбора

3j-символ Вигнера не равен нулю только при одновременном выполнении всех следующих условий:

m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0,

j_{1} + j_{2} + j_{3}

— целое,

| m_{i} | ⩽ j_{i},

| j_{1} - j_{2} | ⩽ j_{3} ⩽ j_{1} + j_{2} .

Скалярная инвариантность

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

\sum_{m_{1} = - j_{1}}^{j_{1}} \sum_{m_{2} = - j_{2}}^{j_{2}} \sum_{m_{3} = - j_{3}}^{j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) | j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ | j_{3} m_{3} ⟩

инвариантна при вращениях. Это очевидный факт, поскольку указанная сумма равна состоянию с нулевым моментом $| 0 0 ⟩$ , которое сферически симметрично.

Ортогональность

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

(2 j + 1) \sum_{m_{1} m_{2}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j^{'} \\ m_{1} & m_{2} & m^{'} \end{matrix}) = δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}},

\sum_{j m} (2 j + 1) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ m_{1} & m_{2} & m \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j \\ {m_{1}}^{'} & {m_{2}}^{'} & m \end{matrix}) = δ_{m_{1} {m_{1}}^{'}} δ_{m_{2} {m_{2}}^{'}} .

Связь со сферическими гармониками

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

\int Y_{l_{1} m_{1}} (θ, φ) Y_{l_{2} m_{2}} (θ, φ) Y_{l_{3} m_{3}} (θ, φ) \sin θ d θ d φ = \sqrt{\frac{(2 l_{1} + 1) (2 l_{2} + 1) (2 l_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}),

где $l_{1}$ , $l_{2}$ и $l_{3}$ являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

$\int d \hat{𝐧}_{s_{1}} Y_{j_{1} m_{1}} (\hat{𝐧})_{s_{2}} Y_{j_{2} m_{2}} (\hat{𝐧})_{s_{3}} Y_{j_{3} m_{3}} (\hat{𝐧}) = (- 1)^{m_{1} + s_{1}} \sqrt{\frac{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) (2 j_{3} + 1)}{4 π}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - s_{1} & - s_{2} & - s_{3} \end{matrix}) .$

Выражение в явном виде

\begin{matrix} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) & \equiv δ (m_{1} + m_{2} + m_{3}, 0) (- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}} \sqrt{\frac{(j_{1} + j_{2} - j_{3})! (j_{1} - j_{2} + j_{3})! (- j_{1} + j_{2} + j_{3})!}{(j_{1} + j_{2} + j_{3} + 1)!}} \times \\ \times \sqrt{(j_{1} - m_{1})! (j_{1} + m_{1})! (j_{2} - m_{2})! (j_{2} + m_{2})! (j_{3} - m_{3})! (j_{3} + m_{3})!} \times \\ \times \sum_{k = K}^{N} \frac{(- 1)^{k}}{k! (j_{1} + j_{2} - j_{3} - k)! (j_{1} - m_{1} - k)! (j_{2} + m_{2} - k)! (j_{3} - j_{2} + m_{1} + k)! (j_{3} - j_{1} - m_{2} + k)!} . \end{matrix}

Суммирование выполняется по тем целым значениям Шаблон:Mvar, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar принимаются равными: нижний $K = max (0, j_{2} - j_{3} - m_{1}, j_{1} - j_{3} + m_{1}),$ верхний $N = min (j_{1} + j_{2} - j_{3}, j_{1} - m_{1}, j_{2} + m_{2}) .$ Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения 3j-символа при, например, $j_{3} > j_{1} + j_{2}$ или $j_{1} < m_{1}$ автоматически обнуляются^[1].

Прочие свойства

$\sum_{m} (- 1)^{j + m} (\begin{matrix} j & j & J \\ m & - m & 0 \end{matrix}) = \sqrt{\frac{2 j + 1}{2 J + 1}} δ_{J 0} .$

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} d x P_{l_{1}} (x) P_{l_{2}} (x) P_{l} (x) = {(\begin{matrix} l & l_{1} & l_{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{2} .$

См. также

Литература

Шаблон:Книга
Biedenharn L. C., Louck J. D. Angular Momentum in Quantum Physics. In: Vol. 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
Brink D. M., Satchler G. R. Angular Momentum. 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Шаблон:Книга
Wigner E. P. On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups. Unpublished (1940). Reprinted in: Biedenharn L. C., van Dam H. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press, 1965.

Ссылки

Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
WIGXJPF расчёт 3j 6j 9j символов C++ и Python (точный ответ через факторизацию и многобайтные целые числа)

Примечания

Шаблон:Примечания

↑ Шаблон:Книга

[1] Шаблон:Книга

[1]

3j-символ

Содержание

Обратная связь

Симметрия

Правила отбора

Скалярная инвариантность

Ортогональность

Связь со сферическими гармониками

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

Выражение в явном виде

Прочие свойства

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

Навигация

3j-символ

Обратная связь

Симметрия

Правила отбора

Скалярная инвариантность

Ортогональность

Связь со сферическими гармониками

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

Выражение в явном виде

Прочие свойства

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

Навигация

Поиск