Неприводимое представление

Неприводимое представление $(ρ, V)$ алгебраической структуры $A$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления $(ρ |_{W}, W), W \subset V$ , замкнутого по ${ρ (a) : a \in A}$ .

Любое конечномерное Шаблон:Не переведено 5 на эрмитовом векторном пространстве $V$ ^[1] является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть разложены далее на прямую сумму представлений), эти термины часто путаются. Однако, в общем случае, существует много приводимых, но неразложимых представлений, таких как двумерное представление вещественных чисел, действующее посредством верхних треугольных унипотентных матриц.

История

Теорию представления групп обобщил Ричард Брауэр в 1940-х годах, дав Шаблон:Не переведено 5, в которой матричные операции действуют на векторном пространстве над полем $K$ с произвольной характеристикой, а не векторное пространство над полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел. Структура, аналогичная неприводимому представлению в получающейся теории, — это простой модуль.

Обзор

Шаблон:См. также

Пусть $ρ$ будет представлением, то есть гомоморфизмом $ρ : G \to G L (V)$ группы $G$ , где $V$ является векторным пространством над полем $F$ . Если мы выберем базис $B$ для $V$ , $ρ$ можно считать функцией (гомоморфизмом) из группы в множество обратимых матриц и в этом контексте представление называется матричным представлением. Однако всё сильно упрощается, если мы рассматриваем пространство $V$ без базиса.

Линейное подпространство $W \subset V$ называется $G$ -инвариантом, если $ρ (g) w \in W$ для всех $g \in G$ и всех $w \in W$ . сужение $ρ$ на $G$ -инвариантное подпространство $W \subset V$ известно как подпредставление. Говорят, что представление $ρ : G \to G L (V)$ неприводимо, если оно имеет лишь тривиальные подпредставления (все представления могут образовать подпредставление с тривиальными $G$ -инвариантными подпредставлениями, например, со всем векторным пространством $V$ и {0}). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство $ρ$ , говорят, что представление приводимо.

Обозначения и терминология представления групп

Элементы группы могут быть представлены матрицами, хотя термин «представлена» имеет специфичное и точное значение в данном контексте. Представление группы — это отображение из элементов группы в полную линейную группу матриц. Пусть Шаблон:Math означают элементы группы Шаблон:Math с групповым произведением, которое не отражается каким-либо символом, то есть Шаблон:Math является групповым произведением Шаблон:Math и Шаблон:Math, которое также является элементом группы Шаблон:Math. Пусть представления обозначаются буквой Шаблон:Math. Представление элемента a записывается как

D (a) = (\begin{matrix} D (a)_{11} & D (a)_{12} & \dots & D (a)_{1 n} \\ D (a)_{21} & D (a)_{22} & \dots & D (a)_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ D (a)_{n 1} & D (a)_{n 2} & \dots & D (a)_{n n} \end{matrix})

По определению представлений групп представление группового произведения переводится в умножение матриц представлений:

D (a b) = D (a) D (b)

Если Шаблон:Math является нейтральным элементом группы (так, что $a e = e a = a$ ), то Шаблон:Math является единичной матрицей, поскольку мы должны иметь

D (e a) = D (a e) = D (a) D (e) = D (e) D (a) = D (a)

и то же самое для других элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы Шаблон:Math было гомоморфизмом групп.

Разложимые и неразложимые представления

Представление разложимо, если подобная матрица Шаблон:Math может быть найдена для преобразования подобия Шаблон:Sfn:

D^{'} (a) \equiv P^{- 1} D (a) P

,

которая диагонализирует любую матрицу в представлении в диагональные блоки — каждый из блоков является представлением группы независимо друг от друга. Говорят, что представления Шаблон:Math и Шаблон:Math эквивалентныШаблон:Sfn. Представление может быть разложено в прямую сумму k матриц:

D^{'} (a) = P^{- 1} D (a) P = (\begin{matrix} D^{(1)} (a) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & D^{(2)} (a) & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & D^{(k)} (a) \end{matrix}) = D^{(1)} (a) \oplus D^{(2)} (a) \oplus \dots \oplus D^{(k)} (a)

,

так что Шаблон:Math является разложимой и обычно метки у матриц разложения пишутся в скобках, как Шаблон:Math для Шаблон:Math, хотя некоторые авторы пишут числовые метки без скобок.

Размерность Шаблон:Math равна сумме размерностей блоков:

\dim [D (a)] = \dim [D^{(1)} (a)] + \dim [D^{(2)} (a)] + \dots + \dim [D^{(k)} (a)]

Если это невозможно, то есть $k = 1$ , то представление неразложимоШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы $G$ имеют одномерное неприводимое тривиальное представление. Более обще, любое одномерное представление является неприводимым ввиду отсутствия собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно описать с помощью результатов из теории характеров. В частности, все такие представления разложимы в прямую сумму неприводимых представлений и число неприводимых представлений группы $G$ равно числу классов сопряжённости $G$ Шаблон:Sfn.

Неприводимые комплексные представления $ℤ / n ℤ$ в точности задаются отображениями $1 \mapsto γ$ , где $γ$ является $n$ -м корнем из единицы.
Пусть $V$ будет $n$ -мерным комплексным представлением $S_{n}$ с базисом ${v_{i}}_{i = 1}^{n}$ . Тогда $V$ разлагается как прямая сумма неприводимых представлений

V_{t r i v} = ℂ (\sum_{i = 1}^{n} v_{i})

и ортогональное подпространство задаётся формулой:

V_{s t d} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} : a_{i} \in ℂ, \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0}

Первое неприводимое представление является одномерным и изоморфен тривиальному представлению

S_{n}

. Второе является

n - 1

мерным и известно как стандартное представление

S_{n}

Шаблон:Sfn.

Пусть $G$ — группа. Шаблон:Не переведено 5 группы $G$ является свободным комплексным векторным пространством с базисом ${e_{g}}_{g \in G}$ с групповым действием $g \cdot e_{g^{'}} = e_{g g^{'}}$ , обозначаемым как $ℂ G .$ Все неприводимые представления $G$ появляются в разложении $ℂ G$ как прямая сумма неприводимых представлений.

Приложения в теоретической физике и химии

Шаблон:См. также

В квантовой механике и квантовой химии каждое множество вырожденных собственных состояний гамильтонова оператора составляет векторное пространство Шаблон:Mvar для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплет», который лучше всего изучается через сведение к неприводимым частям. Обозначения неприводимых представлений поэтому позволяет назначить метки состояниям и предсказать, как они Шаблон:Не переведено 5 при возмущении или перейдут в другое состояние в Шаблон:Mvar. Таким образом, в квантовой механике, неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью определяют метки уровням энергии системы, что позволяет определить правила отбора^[2].

Группы Ли

Шаблон:Основная статья

Группа Лоренца

Шаблон:Основная статья

Неприводимые представления Шаблон:Math и Шаблон:Math, где Шаблон:Math является генератором вращений, а Шаблон:Math является генератором бустов, могут быть использованы для построения Шаблон:Не переведено 5 группы Лоренца, поскольку они связаны со Шаблон:Не переведено 5 квантовой механики. Это позволяет использовать их для вывода Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn.

См. также

Ассоциативная алгебра

Группы Ли

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Книги

Статьи

Шаблон:Refend

Литература для дальнейшего чтения

Шаблон:Cite web

Ссылки

Шаблон:Теория групп

Шаблон:Rq

↑ Определение Конечномерное векторное пространство над полем С, снабженное положительно определенной эрмитовой формой, называется эрмитовым пространством Шаблон:Harv, Шаблон:Harv
↑ Шаблон:Cite web

[1] Определение Конечномерное векторное пространство над полем С, снабженное положительно определенной эрмитовой формой, называется эрмитовым пространством Шаблон:Harv, Шаблон:Harv

[2] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

Неприводимое представление

Содержание

История

Обзор

Обозначения и терминология представления групп

Разложимые и неразложимые представления

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Неприводимые комплексные представления

Приложения в теоретической физике и химии

Группы Ли

Группа Лоренца

См. также

Ассоциативная алгебра

Группы Ли

Примечания

Литература

Книги

Статьи

Литература для дальнейшего чтения

Ссылки

Навигация

Неприводимое представление

История

Обзор

Обозначения и терминология представления групп

Разложимые и неразложимые представления

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Неприводимые комплексные представления

Приложения в теоретической физике и химии

Группы Ли

Группа Лоренца

См. также

Ассоциативная алгебра

Группы Ли

Примечания

Литература

Книги

Статьи

Литература для дальнейшего чтения

Ссылки

Навигация

Поиск