Характеристика (алгебра)

Шаблон:Другие значения Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца $R$ характеристикой $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}R$ называется наименьшее целое $n>0$ такое, что для каждого элемента $r\in R$ выполняется равенство:

$\underset{n}{\underbrace{r+\cdots +r}}=0$,

а если такого числа не существует, то предполагается $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}R=0$.

Если кольцо содержит натуральные числа, умножение определено обычным способом, и кольцо имеет единицу, то характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число $n$ такое, что $n\cdot 1=0$; если же такого $n$ не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел $\mathbb{Z}$, поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$, поля вещественных чисел $ℝ$, поля комплексных чисел $ℂ$ равны нулю. Характеристика кольца вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ равна $n$. Характеристика конечного поля ${𝔽}_{p^m}$, где $p$ — простое число, $m$ — положительное целое, равна $p$.

Тривиальное кольцо с единственным элементом $0=1$ — единственное кольцо с характеристикой $1$.

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику $n$, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля $K$ есть либо $0$, либо простое число $p$. В первом случае поле $K$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$, во втором случае поле $K$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов ${𝔽}_p$. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в $K$).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в ${𝔽}_p$ и алгебраическое замыкание поля ${𝔽}_p$.

Если $R$ — коммутативное кольцо простой характеристики $p$, то $(a+b{)}^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$ для всех $a,b\in R$, $n\in \mathbb{N}$. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.