Эндоморфизм Фробениуса

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики $p$ , задаётся формулой $x \mapsto x^{p}$ . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства

Пусть $R$ — коммутативное кольцо простой характеристики $p$ (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца $R$ определяется формулой $F (x) = x^{p}$ . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как $(x y)^{p} = x^{p} y^{p}, (x + y)^{p} = x^{p} + y^{p}$ (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на $p$ ).

Если $φ : R \to S$ — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики $p$ , то $φ (x^{p}) = (φ (x))^{p}$ , то есть: $φ \circ F_{R} = F_{S} \circ φ$ .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики $p$ ) в себя.

Если кольцо $R$ не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если $x$ — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени $n$ , то $(x^{n - 1})^{p} = 0$ . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если $R$ является полем. Например, пусть $R = 𝔽_{p} (t)$ — поле рациональных функций с коэффициентами в $𝔽_{p}$ , тогда функция $t$ не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле $K$ называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки

Рассмотрим конечное поле $𝔽_{p}$ . Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению $x^{p} = x$ . Уравнение $p$ -й степени не может иметь более $p$ корней, следовательно, в любом расширении поля $𝔽_{p}$ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля $𝔽_{p}$ . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики $p$ .

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если $𝔽_{p^{k}}$ — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению $x^{p^{k}} = x$ и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками $k$ -й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками $x \mapsto x^{p^{k}}$ .

Порождающий элемент группы Галуа

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть $𝔽_{q}$ — конечное поле, где $q = p^{n}$ . Эндоморфизм Фробениуса $F$ сохраняет элементы простого поля $𝔽_{p}$ , поэтому он является элементом группы Галуа расширения $𝔽_{q} \supset 𝔽_{p}$ . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается $F$ . Порядок этой группы равен $n$ , так как эндоморфизм $x \mapsto x^{q}$ действует на $𝔽_{q}$ тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении $𝔽_{q^{k}} \supset 𝔽_{q}$ основное поле фиксируется $n$ -й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается $F^{n}$ и имеет порядок $k$ .