Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}b+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})b^n,$

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\equiv C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, $n$ — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд.Шаблон:Переход

Примеры:

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^2& =x^2+2xy+y^2,\\ (x+y{)}^3& =x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3,\\ (x+y{)}^4& =x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4,\\ (x+y{)}^5& =x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5.\end{array}$

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

Доказательство

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени $a^k{b}^{n-k}$ нужно из $k$ скобок выбрать $a$, а из оставшихся $n-k$ выбрать $b$. Вариантов выбрать $a$ в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть $n$. Затем, соответственно, $n-1$, и так далее до $n-k+1$ на $k$-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых $k!$. Нормируя, получаем в точности $C_n^k$. Ниже приводится доказательство по индукции. Шаблон:Доказ1

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1+x{)}^r$ в ряд Тейлора:

$(1+x{)}^r=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})x^k,$

где $r$ может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})=\frac{1}{k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}.$

При этом ряд

$(1+z{)}^{\alpha }=1+\alpha z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{z}^2+\dots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{z}^n+\dots$

сходится при $|z|⩽1$.

В частности, при $z=\frac{1}{m}$ и $\alpha =x\cdot m$ получается тождество

${(1+\frac{1}{m})}^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2m^2}+\dots +\frac{xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!m^n}+\dots .$

Переходя к пределу при $m\to \mathrm{\infty }$ и используя второй замечательный предел $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{m})}^m=e$, выводим тождество

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots ,$

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Шаблон:Main Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

$(x_1+x_2+\dots +x_m{)}^n=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k_j⩾0}{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})x_1^{k_1}\dots x_m^{k_m},$

где

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}$

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам $k_j$, сумма которых равна $n$ (то есть по всем композициям числа $n$ длины $m$). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения $x_j^0=1$, даже если $x_j=0$.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по $m$, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При $m=2$, выражая $k_2=n-k_1$, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть $B_n(a_s)=B_n(a_1,\dots ,a_n)$ и $B_0=1$, тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

$B_n(a_s+b_s)=\sum _{i+j=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i,j})B_i(a_s)B_j(b_s).$

История

В Европе долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в своём «Трактате об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 году. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (1238—1298), а также персидским математикам ат-Туси (1201—1274) и аль-Каши (1380—1429). В Европе немецкий математик Михаэль Штифель (1487—1567) описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18 на столетие раньше Паскаля.

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появилась в работе аль-Караджи (953—1029).

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

Герой повести Л. Н. Толстого "Юность" Николенька Иртеньев на вступительном экзамене на математический факультет московского университета отвечает на вопрос о биноме Ньютона.

См. также

• Биномиальное распределение
• Биномиальный коэффициент
• Треугольник Паскаля
• Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Ссылки

• Шаблон:БСЭ3