Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

• $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$ — квадрат суммы или разности двух выражений
• ${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ — квадрат суммы трёх выражений

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

$(a+b)(a-b)=a^2+ba-ab-b^2$

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

$ba-ab=0$

и остаётся

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

$a^2+ba-ab-b^2$.

Чтобы это было равно $a^2-b^2$, мы должны иметь

$ba-ab=0$

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$ - куб суммы (разности) двух чисел
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ - сумма (разность) кубов
• ${(a+b+c)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3a{b}^2+3a{c}^2+3b^{2}c+3b{c}^2+6abc$ - куб суммы

Формулы для четвёртой степени

• $(a\pm b{)}^4=a^4\pm 4a^{3}b+6a^2{b}^2\pm 4a{b}^3+b^4$
• $a^4-b^4=(a\pm b)(a^3\mp a^{2}b+a{b}^2\mp b^3)$
• $a^4-b^4=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)$
• $a^4+b^4=(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)$

Формулы для пятой степени

• $(a\pm b{)}^5=a^5\pm 5a^{4}b+10a^3{b}^2\pm 10a^2{b}^3+5a{b}^4\pm b^5$
• $a^5\pm b^5=(a\pm b)(a^4\mp a^{3}b+a^2{b}^2\mp a{b}^3+b^4)$
• $a^5\pm b^5=(a\pm b)(a^2\mp \frac{\sqrt{5}+1}{2}ab+b^2)(a^2\pm \frac{\sqrt{5}-1}{2}ab+b^2)$

Формулы для шестой степени

• $(a\pm b{)}^6=a^6\pm 6a^{5}b+15a^4{b}^2\pm 20a^3{b}^3+15a^2{b}^4\pm 6a{b}^5+b^6$
• $a^6-b^6=(a\pm b)(a^5\mp a^{4}b+a^3{b}^2\mp a^2{b}^3+a{b}^4\mp b^5)$
• $a^6\pm b^6=(a^2\pm b^2)(a^4\mp a^2{b}^2+b^4)$
• $a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
• $a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^2+\sqrt{3}ab+b^2)(a^2-\sqrt{3}ab+b^2)$

Формулы для седьмой степени

• $(a\pm b{)}^7=a^7\pm 7a^{6}b+21a^5{b}^2\pm 35a^4{b}^3+35a^3{b}^4\pm 21a^2{b}^5+7a{b}^6\pm b^7$
• $a^7\pm b^7=(a\pm b)(a^6\mp a^{5}b+a^4{b}^2\mp a^3{b}^3+a^2{b}^4\mp a{b}^5+b^6)$
• $a^7\pm b^7=(a\pm b)(a^2\mp (2\cos \frac{\pi }{7})ab+b^2)(a^2\pm (2\cos \frac{2\pi }{7})ab+b^2)(a^2\mp (2\cos \frac{3\pi }{7})ab+b^2)$

Формулы для восьмой степени

• $(a\pm b{)}^8=a^8\pm 8a^{7}b+28a^6{b}^2\pm 56a^5{b}^3+70a^4{b}^4\pm 56a^3{b}^5+28a^2{b}^6\pm 8a{b}^7+b^8$
• $a^8-b^8=(a\pm b)(a^7\mp a^{6}b+a^5{b}^2\mp a^4{b}^3+a^3{b}^4\mp a^2{b}^5+a{b}^6\mp b^7)$
• $a^8-b^8=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)$
• $a^8+b^8=(a^2+\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)ab+b^2)(a^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)ab+b^2)(a^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)ab+b^2)(a^2-\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)ab+b^2)$

Формулы для девятой степени

• $(a\pm b{)}^9=a^9\pm 9a^{8}b+36a^7{b}^2\pm 84a^6{b}^3+126a^5{b}^4\pm 126a^4{b}^5+84a^3{b}^6\pm 36a^2{b}^7+9a{b}^8\pm b^9$
• $a^9\pm b^9=(a\pm b)(a^8\mp a^{7}b+a^6{b}^2\mp a^5{b}^3+a^4{b}^4\mp a^3{b}^5+a^2{b}^6\mp a{b}^7+b^8)$
• $a^9\pm b^9=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)(a^6\mp a^3{b}^3+b^6)$
• $a^9\pm b^9=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)(a^2\mp (2\cos \frac{\pi }{9})ab+b^2)(a^2\pm (2\cos \frac{2\pi }{9})ab+b^2)(a^2\pm (2\cos \frac{4\pi }{9})ab+b^2)$

Формулы для десятой степени

• $(a\pm b{)}^{10}=a^{10}\pm 10a^{9}b+45a^8{b}^2\pm 120a^7{b}^3+210a^6{b}^4\pm 252a^5{b}^5+210a^4{b}^6\pm 120a^3{b}^7+45a^2{b}^8\pm 10a{b}^9+b^{10}$
• $a^{10}-b^{10}=(a\pm b)(a^9\mp a^{8}b+a^7{b}^2\mp a^6{b}^3+a^5{b}^4\mp a^4{b}^5+a^3{b}^6\mp a^2{b}^7+a{b}^8\mp b^9)$
• $a^{10}\pm b^{10}=(a^2\pm b^2)(a^8\mp a^6{b}^4+a^4{b}^4\mp a^2{b}^6+b^8)$
• $a^{10}-b^{10}=(a+b)(a-b)(a^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}ab+b^2)(a^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}ab+b^2)(a^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}ab+b^2)(a^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}ab+b^2)$
• $a^{10}+b^{10}=(a^2+b^2)(a^2+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}ab+b^2)(a^2-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}ab+b^2)(a^2+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}ab+b^2)(a^2-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}ab+b^2)$

Формулы для одиннадцатой степени

• $(a\pm b{)}^{11}=a^{11}\pm 11a^{10}b+55a^9{b}^2\pm 165a^8{b}^3+330a^7{b}^4\pm 462a^6{b}^5+462a^5{b}^6\pm 330a^4{b}^7+165a^3{b}^8\pm 55a^2{b}^9+11a{b}^{10}\pm b^{11}$
• $a^{11}\pm b^{11}=(a\pm b)(a^{10}\mp a^{9}b+a^8{b}^2\mp a^7{b}^3+a^6{b}^4\mp a^5{b}^5+a^4{b}^6\mp a^3{b}^7+a^2{b}^8\mp a{b}^9+b^{10})$
• $a^{11}\pm b^{11}=(a\pm b)(a^2\mp (2\cos \frac{\pi }{11})ab+b^2)(a^2\pm (2\cos \frac{2\pi }{11})ab+b^2)(a^2\mp (2\cos \frac{3\pi }{11})ab+b^2)(a^2\pm (2\cos \frac{4\pi }{11})ab+b^2)(a^2\mp (2\cos \frac{5\pi }{11})ab+b^2)$

Формулы для двенадцатой степени

• $(a\pm b{)}^{12}=a^{12}\pm 12a^{11}b+66a^{10}{b}^2\pm 220a^9{b}^3+495a^8{b}^4\pm 792a^7{b}^5+924a^6{b}^6\pm 792a^5{b}^7+495a^4{b}^8\pm 220a^3{b}^9+66a^2{b}^{10}\pm 12a{b}^{11}+b^{12}$
• $a^{12}-b^{12}=(a\pm b)(a^{11}\mp a^{10}b+a^9{b}^2\mp a^8{b}^3+a^7{b}^4\mp a^6{b}^5+a^5{b}^6\mp a^4{b}^7+a^3{b}^8\mp a^2{b}^9+a{b}^{10}\mp b^{11})$
• $a^{12}\pm b^{12}=(a^4\pm b^4)(a^8\mp a^4{b}^4+b^8)$
• $a^{12}-b^{12}=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^2+\sqrt{3}ab+b^2)(a^2-\sqrt{3}ab+b^2)$
• $a^{12}+b^{12}=(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)(a^2+\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)ab+b^2)(a^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)ab+b^2)(a^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)ab+b^2)(a^2-\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)ab+b^2)$

Формулы для n-й степени

• $a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=1}^n{a}^{n-k}{b}^{k-1}$, где $n\in \mathbb{N}$
• $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$, где $n\in \mathbb{N}$
• $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-...-a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}-b^{n-1})$, где $n$ — чётное число
• $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-...+a^2{b}^{n-3}-a{b}^{n-2}+b^{n-1})$, где $n$ — нечётное число

Если показатель степени — составное число, то можно использовать формулы для одного из его составляющих множителей, например:

• $a^{2n}-b^{2n}=(a^n+b^n)(a^n-b^n)$
• $a^{3n}\pm b^{3n}=(a^n\pm b^n)(a^{2n}\mp a^n{b}^n+b^{2n})$

и т. д.

Если мы ограничиваемся действительными числами, то сумма или разность произвольных степеней вида $a^n\pm b^n$ Шаблон:Nobr может быть выражена в виде произведения нескольких многочленов, каждый из которых имеет степень не выше 2 и имеет вид либо $a+b$, либо $a-b$, либо $a^2+kab+b^2$, где $k$ — некоторый коэффициент (в каждом случае свой).

Для чётных $n$:

• $a^n-b^n=(a+b)(a-b)\prod _{m=1}^{m<\frac{n}{2}}(a^2+(2\cos \frac{2m\pi }{n})ab+b^2)$
• $a^n+b^n=\prod _{m=1}^{m\le \frac{n}{2}}(a^2+(2\cos \frac{(2m-1)\pi }{n})ab+b^2)$

Для нечётных $n$:

• $a^n-b^n=(a-b)\prod _{m=1}^{m<\frac{n}{2}}(a^2+(2\cos \frac{(2m-1)\pi }{n})ab+b^2)$
• $a^n+b^n=(a+b)\prod _{m=1}^{m<\frac{n}{2}}(a^2+(2\cos \frac{2m\pi }{n})ab+b^2)$

Если же мы работаем с комплексными числами, то то же самое может быть выражено в виде произведения нескольких многочленов степени 1 (см. ниже).

В комплексных числах

• $a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a+\frac{\mp 1+\sqrt{3}i}{2}b)(a+\frac{\mp 1-\sqrt{3}i}{2}b)$
• $a^4-b^4=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)$
• $a^4+b^4=(a+\frac{1+i}{\sqrt{2}}b)(a+\frac{-1+i}{\sqrt{2}}b)(a+\frac{-1-i}{\sqrt{2}}b)(a+\frac{1-i}{\sqrt{2}}b)$

Для произвольной чётной степени:

• $a^n\pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\mp 1}b)$, где $\sqrt[n]{\mp 1}$ пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• $a^n\pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\pm 1}b)$, где $\sqrt[n]{\pm 1}$ пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

• $(a-b{)}^{2n}=(b-a{)}^{2n}$, где $n\in N$
• $(a-b{)}^{2n+1}=-(b-a{)}^{2n+1}$, где $n\in N$

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• Шаблон:Книга