Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире^[1], Индии^[2], Китае, Германии и Италии^[3]. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел Шаблон:Sfn.

История

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времён Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля^[4]^[5]^[6]. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (Шаблон:Lang-fa). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века Шаблон:Нп5 к трудам другого математика, Пингалы Шаблон:Неавторитетный источник?^[7]. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (Шаблон:Lang-zh).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Шаблон:Iw, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году^[8] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[9], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» (Шаблон:Lang-fr), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» (Шаблон:Lang-lat), что стало основой современного западного названия^[10].

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются $(\binom{n}{k})$ или $C_{n}^{k}$ и читаются как «число сочетаний из Шаблон:Mvar элементов по Шаблон:Mvar»Шаблон:Sfn.

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
- первое и последнее числа равны 1;
- второе и предпоследнее числа равны n;
- третье число равно треугольному числу $T_{n - 1} = \frac{n (n - 1)}{2}$ , что также равно сумме номеров предшествующих строк;
- четвёртое число является тетраэдрическим;
- m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту $C_{n}^{m} = (\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$ .
Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
$(\binom{n - 1}{0}) + (\binom{n - 2}{1}) + (\binom{n - 3}{2}) + \dots = F_{n} .$
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна $2^{n}$ .
Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом^[11] (следствие теоремы Люка).
Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на единицу меньше.
Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Выборочное вычисление значений

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов ряда или диагонали без предварительного расчёта всех остальных элементов предыдущих рядов или факториалов.

Чтобы рассчитать ряд $n$ с элементами $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), \dots, (\binom{n}{n})$ , начните с $(\binom{n}{0}) = 1$ . Теперь, для каждого последующего элемента, рассчитайте его значение умножая предыдущий результат на дробь с постепенно меняющимися числителем и знаменателем:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{k - 1}) \times \frac{n + 1 - k}{k} .

Например, для расчёта значений ряда номер 5, дроби будут иметь следующие значения $\frac{5}{1}$ , $\frac{4}{2}$ , $\frac{3}{3}$ , $\frac{2}{4}$ и $\frac{1}{5}$ , и следовательно элементы ряда $(\binom{5}{0}) = 1$ , $(\binom{5}{1}) = 1 \times \frac{5}{1} = 5$ , $(\binom{5}{2}) = 5 \times \frac{4}{2} = 10$ , и так далее. (Оставшиеся элементы легко получить с помощью симметрии.)

Для расчёта элементов диагоналей $(\binom{n}{0}), (\binom{n + 1}{1}), (\binom{n + 2}{2}), \dots,$ начните снова с $(\binom{n}{0}) = 1$ и получите последующие элементы путём умножения на определённые дроби:

(\binom{n + k}{k}) = (\binom{n + k - 1}{k - 1}) \times \frac{n + k}{k} .

Например, для расчёта диагонали начиная с $(\binom{5}{0})$ , дроби будут следующими $\frac{6}{1}, \frac{7}{2}, \frac{8}{3}, \dots$ , и следовательно элементы получатся $(\binom{5}{0}) = 1, (\binom{6}{1}) = 1 \times \frac{6}{1} = 6, (\binom{7}{2}) = 6 \times \frac{7}{2} = 21$ , и так далее. По симметрии эти элементы равны $(\binom{5}{5}), (\binom{6}{5}), (\binom{7}{5})$ , и так далее.

Цитаты

Шаблон:Цитата

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Вс

[1] Шаблон:Статья

[2] Шаблон:Статья

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Cite book

[5] The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63"

[6] Шаблон:Cite book

[7] Pisipati S. S. The knpwn srcret

[mem-8] Шаблон:Статья

[9] Шаблон:Статья

[10] Шаблон:Cite journal See in particular p. 11.

[mathworld-11] Шаблон:MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Треугольник Паскаля

Содержание

История

Обозначения и свойства

Выборочное вычисление значений

Цитаты

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Треугольник Паскаля

История

Обозначения и свойства

Выборочное вычисление значений

Цитаты

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск