Мультиномиальный коэффициент

Шаблон:К переименованию

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении $(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n}$ по мономам $x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}}$ :

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}} .

Явная формула

Значение мультиномиального коэффициента $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}})$ определено для всех целых неотрицательных чисел n и $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ таких, что $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n$ :

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!} .

Биномиальный коэффициент $(\binom{n}{k})$ для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{k, n - k}) .

Свойства

В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}})$ равен числу упорядоченных разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ .

$\sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = m^{n} .$

из формулы Стирлинга при фиксированных $(α_{i})_{i = 1}^{n} \in (0; 1)^{n}, α_{1} + \dots + α_{k} = 1$ следует асимптотическая формула $(\binom{n}{α_{1} n, \dots, α_{k} n}) \sim {(\frac{1}{{α_{1}}^{α_{1}} \dots {α_{k}}^{α_{k}}} + o (1))}^{n}$

См. также

Мультиномиальное распределение

Шаблон:Нет ссылок

Мультиномиальный коэффициент

Явная формула

Свойства

См. также

Навигация

Поиск