Мультиномиальное распределение

Шаблон:К переименованию Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.

Определение

Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятностиШаблон:Sfn:

$\mathbb{P}(X_i=j)=p_j,j=1,\dots ,k$.

Интуитивно событие $\{X_i=j\}$ означает, что испытание с номером $i$ привело к исходу $j$. Пусть случайная величина $Y_j$ равна количеству испытаний, приведших к исходу $j$:

$Y_j=\sum _{i=1}^n{\mathrm{𝟏}}_{\{X_i=j\}},j=1,\dots ,k$.

Тогда распределение вектора $𝐘=(Y_1,\dots ,Y_k{)}^{\mathrm{\top }}$ имеет функцию вероятности

$p_{𝐘}(𝐲)=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{y_1\dots y_k})p_1^{y_1}\dots p_k^{y_k},& \sum _{j=1}^k{y}_j=n\\ 0,& \sum _{j=1}^k{y}_j=n\end{array},𝐲=(y_1,\dots ,y_k{)}^{\mathrm{\top }}\in {\mathbb{N}}_1^k$,

где

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{y_1\dots y_k})\equiv \frac{n!}{y_1!\dots y_k!}$ — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины $Y_j$ имеет видШаблон:Sfn: $𝔼[Y_j]=n{p}_j$. Диагональные элементы матрицы ковариации $\mathrm{\Sigma }=({\sigma }_{ij})$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

${\sigma }_{jj}=\mathrm{D}[Y_j]=n{p}_j(1-p_j),j=1,\dots ,k$.

Для остальных элементов имеем

${\sigma }_{ij}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(Y_i,Y_j)=-n{p}_i{p}_j,i=j$.

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен $k-1$.

Литература

• Шаблон:Книга