Характер представления группы

Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представленииШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обычно обозначаются буквой $\chi$Шаблон:Sfn.

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Определение

Если $f$ — конечномерное представление группы $G$, то характер этого представления — это функция из $G$ во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу $G$. Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

Свойства

• Характеры эквивалентных представлений совпадаютШаблон:Sfn.
• Изоморфные представления имеют одинаковые характерыШаблон:Sfn.
• Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функцийШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единицеШаблон:Sfn.
• Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаютсяШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентныШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицыШаблон:Sfn.
• У взаимно-сопряжённых элементов группы $a$ и $b^{-1}ab$ характеры равныШаблон:Sfn.
• Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементовШаблон:Sfn.
• Для любого элемента группы $a\in G$ $\chi (a^{-1})=\overline{\chi (a)}$Шаблон:Sfn.
• Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен $1$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга