Специальная унитарная группа

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером $n\times n$ обозначается $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$.

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы $\mathrm{U}(n)$, состоящей из всех унитарных матриц $n\times n$:

$\mathrm{SU}(n)\subset \mathrm{U}(n)\subset \mathrm{GL}(n,ℂ)$.

Группа $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ имеет $(n^2-1)$ параметр, так как матрица $n\times n$ содержит $n^2$ чисел, но одно из них не является независимым и определяется из условия равенства определителя единице. Соответственно, количество генераторов тоже равно $(n^2-1)$.

Генераторы

SU(2)

Для группы $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ генераторы известны как матрицы Паули:

Шаблон:0

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

SU(3)

Аналогом матриц Паули для $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ служат матрицы Гелл-Манна:

Шаблон:0	${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
Шаблон:0	${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
Шаблон:0	${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Генераторы для $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ определяются как $T$ с использованием соотношения:

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2}$.

Они подчиняются следующим соотношениям:

• $[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c$, где $f$ — структурная константа, значения которой равны:

$f_{123}=1$,

$f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}=\frac{1}{2}$,

$f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

• $\mathrm{tr}(T_a)=0$.

SU(4)

Эрмитовы матрицы генераторы для $\mathrm{S}\mathrm{U}(4)$, аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:

Шаблон:0	${\lambda }_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{cccc}0& -i& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
Шаблон:0	${\lambda }_4=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& -i& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
Шаблон:0	${\lambda }_7=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_9=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$
Шаблон:0	${\lambda }_{10}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_{11}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_{12}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -i\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& i& 0& 0\end{array}\right)$
Шаблон:0	${\lambda }_{13}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_{14}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_{15}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right)$

Эти матрицы удовлетворяют выражению для следа:

$Tr({\lambda }_k^2)=2;k=1..15$

и тождеству Якоби:

$[[{\lambda }_l,{\lambda }_k],{\lambda }_j]+[[{\lambda }_k,{\lambda }_j],{\lambda }_l]+[[{\lambda }_j,{\lambda }_l],{\lambda }_k]=0;j<k<l;j,k,l=1..15$

При этом коммутатор вычисляется как:

$[{\lambda }_j,{\lambda }_k]=2i\sum _m{f}_{jkl}{\lambda }_l$

Таблица структурных констант $f_{jkl}$

$f_{1,2,3}=1$

$f_{1,4,7}=f_{2,4,6}=f_{2,5,7}=f_{3,4,5}=f_{1,9,12}=f_{2,9,11}=f_{2,10,12}=f_{3,9,10}=f_{4,9,14}=f_{5,10,14}=f_{6,11,14}=f_{7,11,13}=f_{7,12,14}=\frac{1}{2}$

$f_{1,5,6}=f_{3,6,7}=f_{1,10,11}=f_{3,11,12}=f_{4,10,13}=f_{6,12,13}=-\frac{1}{2}$

$f_{4,5,8}=f_{6,7,8}=f_{8,9,10}=f_{8,11,12}=f_{9,10,15}=f_{11,12,15}=f_{13,14,15}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$f_{8,13,14}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Литература

• Шаблон:Книга
• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Physics 558 — Lecture 1, Winter 2003

См. также

• Специальная ортогональная группа