Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),$

${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

Вместо ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ иногда используют обозначение ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ и $X,Y,Z$.

Часто также употребляют матрицу

${\sigma }_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

совпадающую с единичной матрицей $I$, которую также иногда обозначают как $E$.

Матрицы Паули вместе с матрицей ${\sigma }_0$ образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства

Основные соотношения

• Эрмитовость: ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i$.
• Равенство нулю следа: $\mathrm{Tr}({\sigma }_i)=0,i=1,2,3$.
• ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2={\sigma }_0^2=I,$ где $I={\sigma }_0$ — единичная матрица размерности 2×2.
• Унитарность: ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i^{-1}={\sigma }_i$.
• Определитель матриц Паули равен −1.
• Алгебра, порождённая элементами ${\sigma }_0,-i{\sigma }_x,-i{\sigma }_y,-i{\sigma }_z$, изоморфна алгебре кватернионов $⟨1,i,j,k⟩$.

Правила умножения матриц Паули:

${\sigma }_1{\sigma }_2=i{\sigma }_3,$

${\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_1,$

${\sigma }_3{\sigma }_1=i{\sigma }_2,$

${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_i$ для $i\ne j.$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

${\sigma }_i{\sigma }_j=i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k+{\delta }_{ij}{\sigma }_0,i,j,k=1,2,3$,

где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера, а ${\epsilon }_{ijk}$ — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_i,{\sigma }_j]& =& 2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k,\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& =& 2{\delta }_{ij}{\sigma }_0.\end{array}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Выражения для следов произведения матриц Паули

$\mathrm{Tr}({\sigma }_i{\sigma }_j)=2{\delta }_{ij},$

$\mathrm{Tr}({\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_k)=2i{\epsilon }_{ijk}.$

Из выражения для умножения матриц Паули следуют также следующие соотношения:

• ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_0,$
• $(\overrightarrow{\sigma },\overrightarrow{a}{)}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\sigma }_0$, где $\overrightarrow{\sigma }=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$ — вектор из матриц Паули, $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ — произвольный вектор,

а также формулы для матричных экспонент и их следов:

• $e^{i(\overrightarrow{a},\overrightarrow{\sigma })}={\sigma }_0\cos \left|\overrightarrow{a}\right|+\frac{i(\overrightarrow{a},\overrightarrow{\sigma })}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\sin \left|\overrightarrow{a}\right|,$
• $e^{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{\sigma })}={\sigma }_0\mathrm{ch}\left|\overrightarrow{a}\right|+\frac{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{\sigma })}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\mathrm{sh}\left|\overrightarrow{a}\right|,$
• $\mathrm{Tr}\left(e^{i(\overrightarrow{a},\overrightarrow{\sigma })}\right)=2\cos \left|\overrightarrow{a}\right|,$
• $\mathrm{Tr}\left(e^{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{\sigma })}\right)=2\mathrm{ch}\left|\overrightarrow{a}\right|.$

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц $i{\sigma }_k$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта обёртывающая алгебра может быть построена из произвольных линейных комбинаций конечных произведений матриц $i{\sigma }_k.$ [Слово "генераторы" ведёт своё происхождение из терминологии математики 19-го века: тогда любили говорить о "генераторах и отношениях" алгебраической структуры, так как, не имея теории множеств, математики определяли такие структуры часто "изнутри", а не "снаружи". В случае матриц Паули идеал, по которому факторизуется тензорная алгебра алгебры Ли (соответствующая фактор-алгебра и есть универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли), определяется "отношениями", которыми собственно и служат коммутационные соотношения матриц. Универсальные обёртывающие алгебры особенно полезны для нематричных алгебр Ли, так как скобка Ли, являющаяся примитивным понятием алгебры Ли (а произведений в алгебре Ли в общем случае нет), вкладывается в ассоциативную обёртывающую алгебру, имеющую произведения, в виде коммутатора.] Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, будучи её универсальной накрывающей группой; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

В квантовой механике матрицы −$i{\sigma }_j/2$ представляют собой генераторы бесконечно малых вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули как

$(s_x{)}_{\sigma ,\sigma -1}=(s_x{)}_{\sigma -1,\sigma }=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma )(s-\sigma +1)}$

$(s_y{)}_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_y{)}_{\sigma -1,\sigma }=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma )(s-\sigma +1)}$

$(s_z{)}_{\sigma \sigma }=\sigma$

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

См. также

• Тождества Фирца

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика