Символ Леви-Чивиты

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается ${\epsilon }_{ijk}$. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см. ниже).

Другие названия:

• абсолютно антисимметричный единичный тензор,
• полностью антисимметричный единичный тензор,
• абсолютно кососимметричный объект,
• тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора),
• кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга).

Определение

Изображение символа Леви-Чивиты

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1,& P(i,j,k)=+1,\\ -1,& P(i,j,k)=-1,\\ 0,& i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{array}$

то есть для чётной перестановки индексов i, j, k он равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки равен -1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (при наличии повторяющихся индексов). Для компонент ${\epsilon }_{ijk}$ в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+\sqrt{g},& P(i,j,k)=+1,\\ -\sqrt{g},& P(i,j,k)=-1,\\ 0& i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{array}$

где $g$ — определитель матрицы метрического тензора $g_{ij}$, представляющий квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на базис. Аналогично, для левого базиса берутся противоположные числа.

Такой набор компонент ${\epsilon }_{ijk}$ представляет собой (истинный) тензор. Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения ${\epsilon }_{ijk}$ использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор. При этом ${\epsilon }^{ijk}$ будет таким же, но с заменой $\sqrt{g}$ на $1/\sqrt{g}.$

${\epsilon }_{ijk}$ может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

${\epsilon }_{ijk}=[{\overrightarrow{e}}_i{\overrightarrow{e}}_j{\overrightarrow{e}}_k].$

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объёму параллелепипеда, натянутого на базис $\{\overrightarrow{e_i}\}$. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведённым выше.

Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя $\sqrt{g}$ в любых базисах (то есть таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в определении выше для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на $\sqrt{g}$ объект (совпадающий с ${\epsilon }_{ijk}$ в определении выше и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объёма. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трёхмерного пространства, но и для любой размерности.)

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объёмом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трёхмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трёх векторов

$V={\epsilon }_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k$

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$.

Векторное произведение двух векторов

$S_i={\epsilon }_{ijk}{a}^j{b}^k$

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать $\epsilon$ с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объём, а под площадью — (n − 1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n − 1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

$V={\epsilon }_{ijkm}{a}^i{b}^j{c}^k{d}^m,$

$S_i={\epsilon }_{ijkm}{a}^j{b}^k{c}^m.$

Свойства

• Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис) как

  $\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k.$

• Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\overrightarrow{e}}^i{a}^j{b}^k=\overrightarrow{c}$, где $c_i=\sum _{j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}^j{b}^k$ — его компоненты, а ${\overrightarrow{e}}^i$ — векторы базиса.

• Смешанное произведение векторов тоже:

  $[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k.$

• В следующей формуле $\delta$ обозначает символ Кронекера:

  ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{lmn}=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_i^l& {\delta }_i^m& {\delta }_i^n\\ {\delta }_j^l& {\delta }_j^m& {\delta }_j^n\\ {\delta }_k^l& {\delta }_k^m& {\delta }_k^n\end{array}\right|.$

• Суммирование по общему индексу даёт

  $\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}.$

• В случае двух общих индексов $i,j$ тензор сворачивается следующим образом:

  $\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijn}=2{\delta }_{kn}.$

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

${\epsilon }_{ijkl\dots }=\{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$	$+\sqrt{g},$ если $(i,j,k,l,\dots )$ есть чётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots );$
	$-\sqrt{g},$ если $(i,j,k,l,\dots )$ есть нечётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots );$
	$0$, если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики $\sqrt{g}=\sqrt{\det \{g_{ij}\}}$ в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора $(1,2,3,\dots ,n)$, а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства $n$.)

• В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что $g<0$, вместо него как правило берут $-g$, чтобы $\sqrt{g}$ получался вещественным.
• Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определён метрический тензор, или, скажем, $\det \{g_{ij}\}=0$ или $\det \{g^{ij}\}=0$.

Можно показать, что для $n$ измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

• $\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijk\dots }{\epsilon }^{ijk\dots }=n!$

— что связано с тем, что существует $n!$ перестановок набора $(1,2,3,\dots ,n)$, а следовательно, столько же ненулевых компонент $\epsilon$ с $n$ индексами.

• ${\epsilon }_{ijk\dots }{\epsilon }^{pqr\dots }=\left|\begin{array}{cccc}{\delta }_i^p& {\delta }_i^q& {\delta }_i^r& \dots \\ {\delta }_j^p& {\delta }_j^q& {\delta }_j^r& \dots \\ {\delta }_k^p& {\delta }_k^q& {\delta }_k^r& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right|.$

После раскрытия определителя появляется множитель $n!$ и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

• Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:

  $\overrightarrow{a}\vee \overrightarrow{b}=\sum _{i,j=1}^2{\epsilon }_{ij}{a}^i{b}^j.$

• Определитель матрицы $A$ размера $n\times n$ можно удобно записать с использованием $n$-мерного символа Леви-Чивиты

  $\det A=\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijk\dots }{A}_{1i}{A}_{2j}{A}_{3k}\cdots =\sum _{i_1,i_2,i_3,\dots ,i_n=1}^n{\epsilon }_{i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n}{A}_{1i_1}{A}_{2i_2}{A}_{3i_3}\cdots A_{n{i}_n},$

что является, по сути, просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространённых). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты ${\epsilon }_{ijk\dots }$ принимают тут значения $\pm 1$.

• Прямое $n$-мерное обобщение векторного произведения $n-1$ штук ($n$-мерных) векторов:

  $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\times \dots =\sum _{i,j,k,m,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijkm\dots }{\overrightarrow{f}}^i{a}^j{b}^k{c}^m\dots ,$

где $p_i=\sum _{j,k,m,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijkm\dots }{a}^j{b}^k{c}^m\dots$ — его компоненты, а ${\overrightarrow{f}}^i$ — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе.)

• Прямое $n$-мерное обобщение смешанного произведения $n$ штук ($n$-мерных) векторов:

  $[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\dots ]=\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijk\dots }{a}^i{b}^j{c}^k\dots .$

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

$(*\eta {)}_{i_1,i_2,\dots ,i_{n-k}}=\frac{1}{k!}{\eta }^{j_1,\dots ,j_k}{\epsilon }_{j_1,\dots ,j_k,i_1,\dots ,i_{n-k}}$

(для произвольного тензора $\eta ,$ учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

• Символ Кронекера
• Метрический тензор
• Символ Кристоффеля

Ссылки

• Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. с. 31).
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
• Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. — Шаблон:М: Мир, 1977 (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
• Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление, Шаблон:М: Высшая школа, 2001. — 575 с.