Унитарная группа

Унитарная группа (обозначается $U(n)$) — подгруппа группы $GL(n,ℂ)$ невырожденных линейных преобразований пространства ${ℂ}^n,$ состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, то есть преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве ${ℂ}^n.$

А именно, если $⟨x,y⟩$ — эрмитово скалярное произведение, то линейное преобразование $A:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$ унитарное, если

$\mathrm{\forall }x,y\in {ℂ}^n⟨A(x),A(y)⟩=⟨x,y⟩.$

Свойства

• Определитель унитарного преобразования — комплексное число, по модулю равное $1$. Унитарные преобразования с определителем $1$ образуют подгруппу специальных унитарных преобразований $SU(n)$ в $U(n).$

Вариации и обобщения

• Если вместо эрмитова скалярного произведения взять произведение

  $⟨x,y⟩=x_1{\overline{y}}_1+\dots +x_p{\overline{y}}_p-x_{p+1}{\overline{y}}_{p+1}-\dots -x_{p+q}{\overline{y}}_{p+q},$

то полученная группа обозначается $U(p,q)$

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, — Любое издание.

См. также

• U(1)