Проектор (математика)

На этом рисунке преобразование $P$ является ортогональной проекцией на прямую $m$.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $P$, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором), если $P^2=P$. Такой оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор $P:X\to X$ является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства $U$ и $V$ пространства $X$, что $X$ раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов $u\in U,v\in V$ имеем $P(u+v)=u$. Подпространства $U$ и $V$ — соответственно образ и ядро проектора $P$, и обозначаются $\mathrm{I}\mathrm{m}P$ и $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P$.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства $V$ пространства $X$, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с $V$.

Свойства проекционных операторов

• Пусть $I$ — тождественный оператор. Если $P$ — проектор, то $I-P$ тоже проектор, причём $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(I-P)=\mathrm{I}\mathrm{m}P$ и $\mathrm{I}\mathrm{m}(I-P)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P$.
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: $X=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}P$.
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть $P_1$ и $P_2$ — проекторы, заданные на векторном пространстве $X$, и проецирующие на подпространства $M_1$ и $M_2$ соответственно. Тогда

• $P_1+P_2$ — проектор на подпространстве $M_1\oplus M_2$, в том и только том случае, когда $P_1{P}_2=P_2{P}_1=0$.
• $P_1-P_2$ является проектором тогда и только тогда, когда $P_1{P}_2=P_2{P}_1=P_2$. $P_1-P_2$ проецирует на подпространство $M_1\cap (X\ominus M_2)$.
• Если $P_1{P}_2=P_2{P}_1=P$, то $P$ — проектор на подпространство $M_1\cap M_2$.

Примеры

• Ортогональная проекция (см. ниже) точек $(x,y,z)$ пространства $R^3$ на плоскость $Oxy$ задаётся матрицей

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Действует на точки она следующим образом:

$P\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)$

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

$P=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right].$

Легко показать, что это действительно проектор:

$P^2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]=P.$

Проекция, задаваемая $P$, ортогональна, тогда и только тогда, когда $\alpha =0$.

Ортогональный проектор

Если пространство $X$ — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства $U$ и $V$ ортогональны друг другу, иными словами, когда $\mathrm{\forall }u\in U,\mathrm{\forall }v\in V$ $(u,v)=0$, или $u\cdot v=0$, или $u\perp v=0$. В этом случае проекция элемента $x\in X$ является ближайшим к нему элементом пространства $U$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга