Весовая функция

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции

Общие определения

Дискретная весовая функция $w:A\to {ℝ}^{+}$ — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений $A$, которое обычно конечно или счётно. Весовая функция $w(a):=1$ соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция $f:A\to ℝ$ определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма $f$ на $A$ определяется как

$\sum _{a\in A}f(a)$;

в отличие от взвешенной суммы $w:A\to {ℝ}^{+}$, определяемой как

$\sum _{a\in A}f(a)w(a)$.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

$\sum _{a\in B}w(a).$

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

$\frac{1}{|A|}\sum _{a\in A}f(a)$

в виде взвешенного среднего арифметического

$\frac{\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}.$

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда , если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия $J$ частные показатели качества $x_i$ нормируются (диапазон изменения $[\min x_i,\max x_i]$ каждого из них приводится к отрезку $[0,1]$): ${x_i}^{\prime }=\frac{x_i-\min x_i}{\max x_i-\min x_i}$, а интегральный критерий рассчитывается как $J=\sum _{i=1}^n{x_i}^{\prime }{w}_i$, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов $w_1,\dots ,w_n$.

Статистика

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (Шаблон:Lang-en). Для истинного значения $f$, измеренного как $f_i$ несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями ${\sigma }_i^2$, наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения ${\sigma }^2=1/\sum w_i$. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями $w_i$.

Механика

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется $n$ объектов с весами $w_1,\dots ,w_n$ (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$ на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

$\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{𝒙}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат ${𝒙}_i$.

Непрерывные весовые функции

В случае непрерывных величин вес — положительная мера $w(x)dx$ в некотором домене $\mathrm{\Omega }$, который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства ${ℝ}^n$ на отрезке $[a,b]$. Здесь $dx$ — мера Лебега, а $w:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{+}$ — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция $w(x)$ часто употребляется в понятии плотности.

Общие определения

Если $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx$

может быть дополнен взвешенным интегралом

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx$

Взвешенный объём

Если E — подмножество $\mathrm{\Omega }$, то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

$\underset{E}{\int }w(x)dx$.

Взвешенное среднее

Если $\mathrm{\Omega }$ имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

$\frac{1}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega })}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx$

на взвешенное среднее

$\frac{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx}{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }w(x)dx}$

Скалярное произведение

Если $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ и $g:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

$⟨f,g⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)dx$

можно ввести взвешенное скалярное произведение

$⟨f,g⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)w(x)dx$

(См. также ортогональность)

См. также

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Среднее арифметическое взвешенное
• Взвешенный граф