Треугольная функция

Треугольная функция.

Свёртка двух прямоугольных импульсов порождает треугольный импульс.

Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:

$\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)=\{\begin{array}{cc}1-|t|;& |t|<1\\ 0& \text{otherwise}\end{array},$

или через свёртку двух единичных прямоугольных функций:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)\ast \mathrm{rect}(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t)d\tau .\end{array}$

Применения

• Функция находит применение в обработке сигналов и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в широтно-импульсной модуляции для передачи и детектирования цифровых сигналов.
• Используется в спектральном анализе по ограниченной выборке данных как оконная функция, в этом случае её обычно называют «окном Бартлета».
• Подобные функции используются в методе конечных элементов, в качестве базиса первого порядка.

Свойства

Преобразование Фурье треугольного импульса:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\text{tri}(t)e^{-i\omega t}dt$ $=\sqrt{2\pi }{\left(\frac{\text{sinc}(\frac{\omega }{2\pi })}{\sqrt{2\pi }}\right)}^2$ $=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(\frac{\omega }{2\pi }\right)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f)$

Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.

См. также

• Прямоугольная функция
• Отображение тент