Кусочно-линейная функция

Кусо́чно-лине́йная фу́нкция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение и задание

Пусть заданы $x_1<x_2<\dots <x_n$ — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов $(-\mathrm{\infty };x_1),(x_1;x_2);\dots (x_n;+\mathrm{\infty })$ отдельной формулой. Записывают это в виде: $f(x)=\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,x<x_1\\ k_{1}x+b_1,x_1<x<x_2\\ \cdots \\ k_{n}x+b_n,x_n<x\end{array}$

Если к тому же выполнены условия согласования

$k_i{x}_i+b_i=k_{i+1}{x}_i+b_{i+1}=f(x_i)$ при $i=1,2,\dots ,n-1$,

то кусочно-линейная функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Альтернативное задание

Можно доказать, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать некоторой формулой вида

$f(x)=ax+b+c_1|x-x_1|+c_2|x-x_2|+\dots +c_n|x-x_n|$.

При этом все коэффициенты, кроме b, можно выразить через угловые коэффициенты наклона прямых на отдельных интервалах:

$c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}$, при $i=1,2,\dots ,n$

$a=\frac{k_0+k_n}{2}$

Свойства

• Любую непрерывную функцию можно аппроксимировать сколь угодно близко кусочно-линейной функцией (в непрерывной метрике).

Пример кусочно-линейной функции

График кусочно линейной функции

График функции на рисунке аналитически задан в виде:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}-x-3& \text{если}x\le -3\\ x+3& \text{если}-3<x<0\\ -2x+3& \text{если}0\le x<3\\ \mathrm{0,5}x-\mathrm{4,5}& \text{если}x\ge 3\end{array}$

Источники

• Шаблон:Книга:Факультативный курс по математике. Никольская
• Кусочно-линейная функция // Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

Ссылки

• Задачи по теме: Кусочно-линейные функции.