Однородное пространство

Тор. Стандартный тор является однородным по группам его диффеоморфизмов и гомеоморфизмов, а плоский тор однороден по его группам диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий.

Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.

Определение

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

• Элементы X называются точками однородного пространства.
• Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений, или основной группой, однородного пространства.
• Подгруппа $H_x<G$, фиксирующая элемент $x\in X$, называется стабилизатором $x$.
• Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

Свойства

• Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
• Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

Примеры

Метрические пространства

• Евклидово пространство ${𝔼}^n$ с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа $\mathrm{O}(n)$ ортогональных преобразований.
• Стандартная сфера ${𝕊}^n$ со следующими действиями:
  • Группы $\mathrm{O}(n)$ ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе $\mathrm{O}(n-1)$.
  • Группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе $\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$.
• Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
• Грассманиан: $\mathrm{G}\mathrm{r}(r,n)=\mathrm{O}(n)/(\mathrm{O}(r)\times \mathrm{O}(n-r))$.

Другие

• Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): ${𝐀}^n=\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}(n,K)/\mathrm{G}\mathrm{L}(n,k)$.
• Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).
• Антидеситтеровское пространство: ${\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{S}}_{n+1}=\mathrm{O}(2,n)/\mathrm{O}(1,n)$.

Вариации и обобщения

• Метрическое пространство $X$ называется $n$ точечно однородным, если изометрического отображения $n$-точечно подмножества $K\subset X$ в $X$ можно продолжить до изометрии $X$
• Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
• Двойное фактор-пространство $G//H$ — фактор группы $G$ по подгруппе $H<G\times G$, действующей на $G$ справа и слева.
• Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.
• Подобно однородное пространство — метрическое пространство $(X,\rho )$ при условии, когда группа его подобий действует транзитивно на $X$.

См. также

• Однородность пространства

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга