Грассманиан

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $V$ размерности $n$ называется многообразие, состоящее из его $p$-мерных подпространств. Обозначается ${𝐆𝐫}_p(V)$ или $𝐆𝐫(p,n)$ или $𝐆𝐫(p,V)$. В частности, ${𝐆𝐫}_1({ℝ}^n)$ — это многообразие прямых в пространстве ${ℝ}^n$, совпадающее с проективным пространством $ℝ{\mathbb{P}}^{n-1}$. Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение $𝐆𝐫(p,n)\subset {𝐏}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})-1}$. Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство

Грассманиан ${𝐆𝐫}_p(V)$ можно наделить следующим атласом.

Пусть $\mathrm{\Pi }\in {𝐆𝐫}_p(V)$ — $p$-мерное подпространство $V$. Введём в векторном пространстве $V$ скалярное произведение и обозначим через ${\mathrm{\Pi }}^{\perp }$ ортогональное дополнение $\mathrm{\Pi }$.

Так как $\mathrm{\Pi }\oplus {\mathrm{\Pi }}^{\perp }=V$, то любое $p$-мерное подпространство ${\mathrm{\Pi }}^{\prime }$, достаточно близкое к $\mathrm{\Pi }$, можно отождествить с линейным отображением $A:\mathrm{\Pi }\to {\mathrm{\Pi }}^{\perp }$, если представить каждый вектор $a\in {\mathrm{\Pi }}^{\prime }$ в виде суммы $a=x+y$, где $x\in \mathrm{\Pi }$ и $y\in {\mathrm{\Pi }}^{\perp }$, и положить $A(x)=y$.

Тогда окрестность точки $\mathrm{\Pi }\in {𝐆𝐫}_p(V)$ взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений $ℒ(\mathrm{\Pi },{\mathrm{\Pi }}^{\perp })$. Построенный атлас делает ${𝐆𝐫}_p(V)$ аналитическим многообразием размерности $p(n-p)$, где $n=\dim V$.

Для того, чтобы показать, что ${𝐆𝐫}_p(V)$ является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства

• Грассманиан ${𝐆𝐫}_p(V)$ является проективным алгебраическим многообразием размерности $p(n-p)$, где $n=\dim V$. Соответственно, если $V={ℂ}^n$ — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
• Грассмановым конусом порядка $p$ называется множество разложимых элементов внешней степени ${\wedge }^{p}V$, то есть $p$-форм, представимых в виде произведения $p$ 1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка $p$ совпадает с ${𝐆𝐫}_p(V)$.

• В силу естественного изоморфизма $p$-форм и $(n-p)$-форм, грассмановы многообразия порядка $p$ и $n-p$ совпадают.

• Вещественный грассманиан можно представить как однородное пространство ортогональной группы.

$𝐆𝐫(k,{ℝ}^n)=O(n)/(O(k)\times O(n-k))$

Аналогично, комплексный грассманиан соответствует унитарной группе.

$𝐆𝐫(k,{ℂ}^n)=U(n)/(U(k)\times U(n-k))$.

Эти соотношения означают, что линейное подпространство $W$ евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые $\dim W$ векторов которого образуют базис в $W$. Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом $W$, так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение

Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис $\{e_1,\dots ,e_n\}$. Заданному k-мерному подпространству $V$ сопоставим набор чисел $s_{1,\dots ,k}$ (символ Шуберта) по правилу

$s_i=\min \{p\in \{1,\dots ,n\}|\dim (V\cap ⟨e_1,\dots ,e_p⟩)=i\},i=1,\dots ,k$

Здесь $⟨e_1,\dots ,e_p⟩$ — подпространство, натянутое на первые $p$ векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями $s_{1,\dots ,k}$ гомеоморфно клетке, размерность которой равна $(s_1-1)+(s_2-2)+\dots +(s_n-n)$. Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид

$H_m(𝐆𝐫(k,n))=\{\begin{array}{c}0,m=2l+1\\ {\mathbb{Z}}^{d(k,l)},m=2l\end{array}$

Здесь $d(k,n)$ — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности $l$.

Обобщения

• Многообразие всех ортонормированных k-реперов в ${ℝ}^n$ называется многообразием Штифеля $V_k({ℝ}^n)$. Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является ортогональная группа:

$O(k)\to V_k({ℝ}^n)\to {𝐆𝐫}_k({ℝ}^n)$

В частности, $V_{n-1}({ℝ}^n)\simeq S{O}_n,$, $V_n({ℝ}^n)\simeq O_n,$.

Литература

• Шаблон:Книга.

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.