Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства $M$ (произвольной размерности) векторного или проективного пространства $L$. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю $\dim M=2$ и $\dim L=4$ для векторных пространств.

Определение в координатах

Пусть $M$ — $m$-мерное подпространство $n$-мерного векторного пространства $L$. Для определения плюккеровых координат подпространства $M$ выберем произвольный базис $e_1,\dots ,e_n$ в $L$ и произвольный базис $a_1,\dots ,a_m$ в $M$. Каждый вектор $a_i$ имеет в базисе $e_1,\dots ,e_n$ координаты $(a_{i1},\dots ,a_{in})$, то есть $a_i=a_{i1}{e}_1+\dots +a_{in}{e}_n$. Записывая координаты векторов $a_1,\dots ,a_m$ в виде строк, получим матрицу

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),$

ранг которой равен $m$. Обозначим через $M_{i_1,\dots ,i_m}$ минор матрицы $A$, состоящий из столбцов с номерами $i_1,\dots ,i_m$, принимающими значения от $1$ до $n$. Числа $M_{i_1,\dots ,i_m}$ не независимы: если набор индексов $(i_1,\dots ,i_m)$ получен из $(j_1,\dots ,j_m)$ с помощью перестановки $\sigma \in S_m$, то имеет место равенство $M_{i_1,\dots ,i_m}=\pm M_{j_1,\dots ,j_m}$, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка $\sigma$ чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность $C_n^m$ чисел $p_{i_1,\dots ,i_m}=M_{i_1,\dots ,i_m}$ для всех упорядоченных наборов индексов $i_1<\dots <i_m$, принимающих значения от $1$ до $n$, называется плюккеровыми координатами подпространства $M$.

Свойства

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве $M$ выбран другой базис $a{\text{'}}_1,\dots ,a{\text{'}}_m$, то новый набор плюккеровых координат $p{\text{'}}_{i_1,\dots ,i_m}$ будет иметь вид $p{\text{'}}_{i_1,\dots ,i_m}=c\cdot p_{i_1,\dots ,i_m}$, где $c$ — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями $a{\text{'}}_i=a{\text{'}}_{i1}{a}_1+\cdots +a{\text{'}}_{im}{a}_m$, и определитель матрицы $(a{\text{'}}_{ij})$ отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем $p{\text{'}}_{i_1,\dots ,i_m}=c\cdot p_{i_1,\dots ,i_m}$, где $c=\det (a{\text{'}}_{ij})$.

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому $m$-мерному подпространству $M$ набор его плюккеровых координат $p_{i_1,\dots ,i_m}$, мы сопоставляем $M$ некоторую точку проективного пространства $P$ размерности $C_n^m-1$. Построенное таким образом отображение $g$ инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством $P$). Образ множества всех $m$-мерных подпространств $n$-мерного пространства при отображении $g$ является $m(n-m)$-мерным проективным алгебраическим многообразием в $P$, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым $G(m,n)$ или ${\mathrm{G}\mathrm{r}}_m(L)$.

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства $P$ грассманиану $G(m,n)$, являются так называемые соотношения Плюккера:

$\sum _{r=1}^{m+1}(-1{)}^r{p}_{j_1,\dots ,j_{m-1}{k}_r}\cdot p_{k_1,\dots ,\breve{k_r},\dots ,k_{m+1}}=0,\mathrm{\forall }(j_1,\dots ,j_{m-1}),\mathrm{\forall }(k_1,\dots ,k_{m+1}),$

где все индексы в наборах $(j_1,\dots ,j_{m-1})$ и $(k_1,\dots ,k_{m+1})$ принимают значения от $1$ до $n$, знак $\stackrel{}{˘}$ обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности $(k_1,\dots ,k_{m+1})$ выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору $(j_1,\dots ,j_{m-1})$, потом два получившихся числа $p_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m}=M_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m}$ перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы $A$, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого $m$-мерного подпространства $M\subset L$. И обратно, если однородные координаты $p_{i_1,\dots ,i_m}$, $i_1<\dots <i_m$, некоторой точки проективного пространства $P$ удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении $g$ соответствует некоторому подпространству $M\subset L$, то есть принадлежит $G(m,n)$.

На языке матриц это означает: если числа $p_{i_1,\dots ,i_m}$ удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример

В случае $n=4$ и $m=2$ имеем $C_4^2=6$, и следовательно, каждая плоскость $M$ в 4-мерном векторном пространстве имеет $6$ плюккеровых координат: $p_{12}$, $p_{13}$, $p_{14}$, $p_{23}$, $p_{24}$, $p_{34}$. Выбирая в плоскости $M$ базис $a_1,a_2$ таким образом, что $a_1=e_1$ и $a_2=e_2$, получаем матрицу

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \alpha & \beta \\ 0& 1& \gamma & \delta \end{array}\right),$

откуда находим:

$p_{12}=1$, $p_{13}=\gamma$, $p_{14}=\delta$, $p_{23}=-\alpha$, $p_{24}=-\beta$, $p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma$.

Очевидно, что имеет место соотношение

$p_{12}{p}_{34}-p_{13}{p}_{24}+p_{14}{p}_{23}=0$,

сохраняющееся при умножении всех $p_{i_1{i}_2}$ на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику $G(2,4)$ в 5-мерном проективном пространстве.

Литература

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — Шаблон:М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — Шаблон:М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — Шаблон:М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — Шаблон:М.: Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.