Аффинная группа

Аффи́нная гру́ппа (Шаблон:Lang-en) — множество всех аффинных преобразований плоскости или пространства, которые составляют группу, обозначаемую Aff. Аффинная группа лежит в основе следующих геометрийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• обычная, точечная аффинная геометрия;
• линейчатая аффинная геометрия.

Аффинная группа Aff — подгруппа более широкой проективной группы. Аффинная группа состоит из всех проективных преобразований проективной плоскости или проективного пространства, оставляющих на месте соответственно фиксированную прямую или гиперплоскостьШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Подгруппы аффинной группы

Центроаффинная группа — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые имеют некоторую неподвижную точку — центр аффинного пространстваШаблон:SfnШаблон:Sfn;

Аффинная унимодулярная группа, или эквиаффинная группа SGL (n)Шаблон:Sfn, — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют площади и объёмы фигурШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

• Центроаффинная унимодулярная группа, или унимодулярная группа SL (n), — подгруппа унимодулярной и центроаффинной групп, множество всех аффинных унимодулярных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку, называемую центром аффинного пространстваШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn;

Ортогональная группа, или группа евклидовых движенийШаблон:Sfn, — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют фиксированную невырожденную квадратичную формуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

• Группа вращений, или специальная ортогональная группа SO (n), — подгруппа ортогональной и центроаффинной унимодулярной групп, множество всех ортогональных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точкуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аффинное преобразование плоскости

Общие определения для плоскости

На проективной плоскости зафиксируем произвольную прямую. Эту прямую назовём бесконечно удалённой прямой и обозначим символом бесконечности $\mathrm{\infty }$. Тогда множество всех тех преобразований проективной группы, которые суть автоморфизмы относительно прямой $\mathrm{\infty }$, есть группа — подгруппа проективной группы. Эта группа автоморфизмов называется аффинной, а её преобразования проективной плоскости — аффиннымиШаблон:Sfn.

Конечные точки проективной плоскости, то есть точки вне прямой $\mathrm{\infty }$, отображаются аффинным преобразованием только в конечное же точки проективной плоскости. Отсюда следует взаимная однозначность аффинных преобразований на множестве всех конечных точек проективной плоскости. Поэтому аффинной плоскостью называется проективная плоскость, разрезанная по бесконечно удалённой прямой $\mathrm{\infty }$. Аффинная и евклидова плоскости имеют общую топологическую структуру Шаблон:Sfn.

Аналитическое представление аффинной группы для плоскости

Выпишем аналитическое представление аффинных преобразований, то есть аналитическое представление аффинной группы. За основу возьмём проективное преобразование проективной плоскости, то есть биекцию проективной плоскости на себя, при которой произвольной точке плоскости с однородными координатами $M(x_1,x_2,x_3)$ соответствует точка плоскости $M^{\prime }(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$Шаблон:Sfn:

${\rho }^{\prime }{x}_1^{\prime }=c_{11}{x}_1+c_{12}{x}_2+c_{13}{x}_3$,

${\rho }^{\prime }{x}_2^{\prime }=c_{21}{x}_1+c_{22}{x}_2+c_{23}{x}_3$,

${\rho }^{\prime }{x}_3^{\prime }=c_{31}{x}_1+c_{32}{x}_2+c_{33}{x}_3$,

где коэффициенты $c_{ik}$ суть вещественные константы, причём выполняется условие равенства нулю определителя

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right|\ne 0$,

а ${\rho }^{\prime }$ — любое ненулевое вещественное числоШаблон:Sfn.

Предложение 1. Пусть при проективном преобразовании сама в себя переходит проективная прямая $x_3=0$, тогда это проективное преобразование будет аффинным преобразованием, представляющим собой невырожденное однородное линейное преобразованиеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

${\rho }^{\prime }{x}_1^{\prime }=c_{11}{x}_1+c_{12}{x}_2+c_{13}{x}_3$,

${\rho }^{\prime }{x}_2^{\prime }=c_{21}{x}_1+c_{22}{x}_2+c_{23}{x}_3$,

${\rho }^{\prime }{x}_3^{\prime }=c_{33}{x}_3$.

Предложение 2. Неравенство нулю коэффициента $c_{33}\ne 0$, а также, в случае конечной точки, неравенство нулю значения третьей однородной координаты $x_3\ne 0$, позволяют арифметизировать в целом аффинную плоскость, то есть сопоставить каждую точку плоскости двум числам, использовав для этого неоднородные координаты $\frac{x_1}{x_3}=x$ и $\frac{x_2}{x_3}=y$. В итоге получим аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах, представляющим собой невырожденное неоднородное линейное преобразованиеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_1$,

$y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_2$,

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\ne 0$.

Получается, что однородные координаты не нужны при изучении аффинной группы. Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное преобразование

$x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_1$,

$y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_2$,

задаётся шестью независимыми параметрами

$a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$,

аффинная группа шестичленнаяШаблон:Sfn.

Аффинное преобразование n-мерного пространства

Распространение результатов, полученных для плоскости, не представит никакого труда на случай высших размерностейШаблон:Sfn.

Общие определения для пространства

На проективном пространстве $P^n$ размерности $n$, $n⩾1$, зафиксируем произвольную гиперплоскость размерности $n-1$ (при $n=1$ эта гиперплоскость вырождается в точку, при $n=2$ — в прямую). Эту гиперплоскость назовём бесконечно удалённой гиперплоскостью и обозначим символом бесконечности $\mathrm{\infty }$. Тогда множество всех тех преобразований проективной группы, которые суть автоморфизмы относительно гиперплоскости $\mathrm{\infty }$, есть группа — подгруппа проективной группы. Эта группа автоморфизмов называется аффинной, а её преобразования проективного пространства $P^n$ — аффиннымиШаблон:Sfn.

Конечные точки проективного пространства $P^n$, то есть точки вне гиперплоскости $\mathrm{\infty }$, отображаются аффинным преобразованием только в конечное же точки проективного пространства $P^n$. Отсюда следует взаимная однозначность аффинных преобразований на множестве всех конечных точек проективного пространства $P^n$. Поэтому аффинным пространством $A^n$ называется проективное пространство $P^n$, разрезанная по бесконечно удалённой гиперплоскости $\mathrm{\infty }$. Аффинное $A^n$ и евклидово $E^n$ пространства имеют общую топологическую структуруШаблон:Sfn.

Аналитическое представление аффинной группы для пространства

Получим аналитическое представление аффинных преобразований, то есть аналитическое представление аффинной группы. За основу возьмём проективное преобразование проективное пространство $P^n$, то есть биекцию проективное пространство $P^n$ на себя, при которой произвольной точке пространства с однородными координатами

$M(x_i)$, $i,j,k=1,2,\dots ,n+1$,

соответствует точка плоскости $M^{\prime }(x_i^{\prime })$Шаблон:Sfn:

${\rho }^{\prime }{x}_i^{\prime }=\sum _{k=1}^{n+1}{c}_{ik}{x}_k$,

или

${\rho }^{\prime }{x}_i^{\prime }=C_i^k{x}_k$,

где суммирование записано двумя разными способами (соответственно обычным со знаком суммирования и по правилу суммирования Эйнштейна), коэффициенты $c_{ik}=C_i^k$ суть вещественные константы, причём выполняется условие неравенства нулю определителя

$\mathrm{\Delta }=\det (c_{ik})=\det (C_i^k)\ne 0,$

а ${\rho }^{\prime }$ — любое ненулевое вещественное числоШаблон:Sfn.

1. Если теперь предположить, что это проективное преобразование таково, что, например, проективная гиперплоскость $x_{n+1}=0$ переходит сама в себя, то это проективное преобразование будет аффинным преобразованием, представляющим собой невырожденное однородное линейное преобразованиеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

${\rho }^{\prime }{x}_p^{\prime }=\sum _{k=1}^{n+1}{c}_{pk}{x}_k$, ${\rho }^{\prime }{x}_{n+1}^{\prime }=c_{n+1n+1}{x}_{n+1}$, $p,q=1,2,\dots ,n$,

или

${\rho }^{\prime }{x}_p^{\prime }=C_p^k{x}_k$, ${\rho }^{\prime }{x}_{n+1}^{\prime }=C_{n+1}^{n+1}{x}_{n+1}$.

2. Неравенство нулю коэффициента $c_{n+1n+1}\ne 0$, а также, в случае конечной точки, неравенство нулю значения Шаблон:S однородной координаты $x_{n+1}\ne 0$, позволяют арифметизировать в целом аффинное пространство $A^n$, то есть сопоставить каждую точку пространства $n$ числам, использовав для этого неоднородные координаты $\frac{x_p}{x_{n+1}}=x^p$. В итоге получим аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах, представляющим собой невырожденное неоднородное линейное преобразованиеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x^{\prime p}=\sum _{q=1}^n{A}_q^p{x}^q+a^p$, или $x^{\prime p}=A_q^p{x}^q+a^p$,

$\mathrm{\Delta }=\det (A_q^p)\ne 0$.

Получается, что однородные координаты не нужны при изучении аффинной группы. Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное преобразование

$x^{\prime p}=\sum _{q=1}^n{A}_q^p{x}^q+a^p$, или $x^{\prime p}=A_q^p{x}^q+a^p$,

задаётся $n^2+n=n(n+1)$ независимыми параметрами аффинной группы $A_q^p$ и $a^p$, аффинная группа Шаблон:SШаблон:Sfn.

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных преобразований

В предыдущем разделе показано, что множество всех аффинных преобразований пространства образует группу как группа автоморфизмов проективного пространства. С другой стороны. то, что множество всех аффинных преобразований пространства образуют группу, легко установить чисто аналитическими средствамиШаблон:Sfn.

Воспользуемся тем обстоятельством, что для доказательства групповых свойств некоторой совокупности преобразований некоторого множества, достаточно выполнения следующих двух свойств этой совокупности преобразованийШаблон:Sfn:

• если два преобразования $a$ и $b$ принадлежат данной совокупности, то их композиция, то есть последовательное выполнение, $ab$ также ей принадлежит;
• если преобразование $a$ принадлежит данной совокупности, то преобразование $a^{-1}$, ему обратное, также ей принадлежит.

Докажем несложными алгебраическими выкладками, что для аффинных преобразований пространства предыдущие два условия выполняются, то есть что совокупность аффинных преобразований пространства образует группуШаблон:Sfn.

Композиция аффинных преобразований есть аффинное преобразование

Предложение 1. Композиция аффинных преобразований пространства обладает точно такой же структурой, как и оба аффинных преобразований пространства, использованных в композицииШаблон:Sfn.

Предложение 2. Композиция аффинных преобразований пространства есть невырожденное неоднородное линейное преобразование пространства с определителем, отличным от нуля, то есть аффинное преобразование пространстваШаблон:Sfn.

Преобразование, обратное аффинному преобразованию, есть аффинное преобразование

Предложение. Преобразование, обратное аффинному преобразованию пространства, есть невырожденное неоднородное линейное преобразование с ненулевым определителем, то есть снова аффинное преобразование пространстваШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H