Аффинная унимодулярная группа

Аффи́нная унимодуля́рная гру́ппа, или эквиаффи́нная гру́ппа — множество всех аффинных преобразований плоскости или пространства с определителем своей матрицы $\pm 1$, которые и составляют группуШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Аффинная унимодулярная группа, или эквиаффинная группа SGL (n)Шаблон:Sfn, — подгруппа более широкой аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют площади и объёмы фигурШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В свою очередь, известные подгруппы аффинной унимодулярной группы следующие:

• центроаффинная унимодулярная группа, или унимодулярная группа SL (n), — подгруппа аффинной унимодулярной группы, множество всех аффинных унимодулярных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку, называемую центром аффинного пространстваШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• ортогональная группа, или группа евклидовых движенийШаблон:Sfn, — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют фиксированную невырожденную квадратичную формуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn;

• группа вращений, или специальная ортогональная группа SO (n), — подгруппа ортогональной и центроаффинной унимодулярной групп, множество всех ортогональных преобразований n-мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точкуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аналитическое представление аффинной унимодулярной группы

Аналитическое представление аффинной унимодулярной группы для плоскости

Аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах на плоскости следующееШаблон:Sfn:

$x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_1$,

$y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_2$.

Оно будет представлением унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен $\pm 1$Шаблон:Sfn:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=\pm 1$.

Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное унимодулярное преобразование

$x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_1$,

$y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_2$

задаётся шестью независимыми параметрами

$a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$,

которые связаны одним равенством $a_1{b}_2-a_2{b}_1=\pm 1$, аффинная унимодулярная группа пятичленнаяШаблон:Sfn.

Аналитическое представление аффинной унимодулярной группы для пространства

Аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах в пространстве размерности $n$, $n⩾1$, следующее:

$x^{\prime p}=\sum _{q=1}^n{A}_q^p{x}^q+a^p$, или $x^{\prime p}=A_q^p{x}^q+a^p$, $p,q=1,2,\dots ,n$.

где суммирование записано двумя разными способами (соответственно обычным со знаком суммирования и по правилу суммирования Эйнштейна).

Оно будет представлением унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен $\pm 1$Шаблон:Sfn:

$\mathrm{\Delta }=|A_q^p|=\pm 1$.

Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное унимодулярной преобразование

$x^{\prime p}=\sum _{q=1}^n{A}_q^p{x}^q+a^p$, или $x^{\prime p}=A_q^p{x}^q+a^p$,

задаётся $n^2+n=n(n+1)$ независимыми параметрами аффинной группы $A_q^p$ и $a^p$, которые связаны одним равенством $|A_q^p|=\pm 1$, аффинная группа Шаблон:SШаблон:Sfn.

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных унимодулярных преобразований

То, что множество всех аффинных унимодулярных преобразований пространства образуют группу, легко установить чисто аналитическими средствамиШаблон:Sfn.

Воспользуемся тем обстоятельством, что для доказательства групповых свойств некоторой совокупности преобразований некоторого множества, достаточно выполнения следующих двух свойств этой совокупности преобразованийШаблон:Sfn:

• если два преобразования $a$ и $b$ принадлежат данной совокупности, то их композиция, то есть последовательное выполнение, $ab$ также ей принадлежит;
• если преобразование $a$ принадлежит данной совокупности, то преобразование $a^{-1}$, ему обратное, также ей принадлежит.

Докажем несложными алгебраическими выкладками, что для аффинных унимодулярных преобразований предыдущие два условия выполняются, то есть что совокупность аффинных преобразований образует группуШаблон:Sfn.

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных унимодулярных преобразований плоскости

Докажем, что композиция аффинных унимодулярных преобразований плоскости есть снова аффинное унимодулярных преобразование плоскостиШаблон:Sfn.

Докажем, что преобразование плоскости, обратное аффинному унимодулярному преобразованию плоскости, есть снова аффинное унимодулярное преобразование плоскостиШаблон:Sfn.

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных унимодулярных преобразований пространства

Докажем, что композиция аффинных унимодулярных преобразований пространства размерности $n$, $n⩾1$, есть снова аффинное унимодулярных преобразование этого пространстваШаблон:Sfn.

Докажем, что преобразование пространства размерности $n$, $n⩾1$,, обратное аффинному унимодулярному преобразованию этого пространства, есть снова аффинное унимодулярное преобразование этого пространстваШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H