Преобразование Стилтьеса

Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции $f(x)$ имеет вид:

$F(\tau )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x+\tau }dx,$

где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а $\tau$ меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.

Данное преобразование является преобразованием свёртки, оно возникает при итерировании преобразования Лапласа. Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутка и, как следствие, с некоторыми цепными дробями.

Если $f(x)x^{\frac{1}{2}}$ непрерывна и ограничена на $(0,\mathrm{\infty })$, то справедлива формула обращения:

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(-1{)}^n}{2\pi }{\left(\frac{e}{n}\right)}^{2n}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^{2n}\frac{d^n}{d{x}^n}F(x)),x>0.$

Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.

Итерирование преобразования Лапласа

Обозначим прямое преобразования Лапласа функции $f(x)$ (переменной $x$) как функцию новой переменной $s$ как

$ℒ\{f(x)\}(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}f(x)dx.$

Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа

$ℒ\{ℒ\{f(x)\}(s)\}(\tau )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x+\tau }dx$

представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интеграла по $s$).

Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственно из свойств преобразования Лапласа.

Основные свойства и теоремы

Обозначим преобразование Стилтьеса функции $f(x)$ как

$𝒮\{f(x)\}=F(\tau ).$

Соответствующее обратное преобразование обозначим как:

${𝒮}^{-1}\{F(\tau )\}=f(x).$

• Умножение оригинала на переменную

В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:

$𝒮\{xf(x)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx-\tau F(\tau )$

• Разностная производная образов

${𝒮}^{-1}\left\{\frac{F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }\right\}=-\frac{f(x)}{x+\alpha },|\arg (\alpha )|<\pi$

• Разностная производная оригиналов

$𝒮\left\{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\}=\frac{\frac{1}{2}(F(a{e}^{i\pi })+F(a{e}^{i\pi }))-f(a)\ln \left(\frac{\tau }{a}\right)-F(\tau )}{\tau +a},a>0$

• Растяжение по аргументу

При масштабировании переменной оригинала в $a$ раз переменная образа также масштабируется в $a$ раз:

$𝒮\{f(ax)\}=F(a\tau ),a>0$

• Дифференцирование оригинала

Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:

$𝒮\{f^{\prime }(x)\}=-\frac{f(0)}{\tau }-F^{\prime }(\tau )$

Обобщения

Обобщённое преобразование Стилтьеса

$F(\tau )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{(x+\tau {)}^{\rho }}dx.$

Интегрированное преобразование Стилтьеса

$F(\tau )=\underset{+0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(\tau ,x)f(x)dx,$

где

$K(\tau ,x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\ln \frac{\tau }{x}}{\tau -x},& \tau \ne x\\ \frac{1}{\tau },& \tau =x\end{array}$

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970